¿Qué tan exacto es G = GM / r ^ 2?

Answer 1

¡Has encontrado una de mis partes favoritas de la ciencia experimental! Rastrear errores y determinar qué otros factores son significativos. Eso es bastante asombroso.

Entonces, sí, el valor [math] g = \ frac {GM} {r ^ 2} [/ math] es una simplificación en o cerca de la superficie de la Tierra. La buena / mala noticia para usted es que las correcciones son bastante pequeñas. El radio de la Tierra es grande, y los cambios locales son bastante pequeños en comparación (en otras palabras, R + (0.0001 * R) todavía está lo suficientemente cerca de R que hace poca diferencia).

Si está buscando otras cosas que puedan afectar ese valor; Hay algunos, pero son muy pocos (y muy difíciles de medir). Hay efectos relativistas generales y otros cuerpos masivos como el Sol o Júpiter. Pero esos efectos son realmente pequeños para la mayoría de las cosas aquí en la Tierra.

En cuanto a otras inexactitudes, ¿cómo está midiendo g (o G)? Si está cayendo cosas y midiendo el tiempo, ¿tiene resistencia al aire de las cosas que está cayendo? ¿Cuánto cuesta? ¿Estás cronometrando las horas de inicio y finalización con un cronómetro? Que tan exacto eres ¿Tiene un buscador de rango u otro ultrasonido? ¿Lo has calibrado?

Hay un montón de cosas que pueden afectar el resultado de cualquier experimento, y es muy importante pensar profundamente sobre esto.

Answer 2

Quiere decir

[matemáticas] g = \ dfrac {GM} {r ^ 2} [/ matemáticas]

donde [matemática] g [/ matemática] es la aceleración de la gravedad en la superficie de la tierra, [matemática] G [/ matemática] es la constante de Newton, [matemática] M [/ matemática] es la masa de la tierra, y [ matemáticas] r [/ matemáticas] es el radio de la tierra.

La ecuación es el ideal newtoniano si la tierra tiene una distribución de masa esféricamente simétrica. Como la tierra no es perfectamente simétrica, esa es una fuente de inexactitud. Es pequeño, pero tendría que calcular una estimación para ser más específico. De la misma manera, toda la otra materia en el universo no está explicada por la ecuación. Para completar, las correcciones relativistas son otra fuente de inexactitud (también hay que contar la energía además de la materia) pero son minúsculas.

La ecuación también descuida el hecho de que la tierra está girando. Hablando en términos generales, la rotación genera una fuerza centrífuga que nos hace más ligeros. Es fácil estimar el período de rotación (1 día), pero la fuerza varía según la latitud y [matemáticas] r [/ matemáticas], por lo que se involucra ligeramente.

No creo que vayas a usar esta ecuación para medir la fuerza de gravitación cercana. Podemos medir [matemáticas] g [/ matemáticas] con bastante facilidad y precisión con una regla y un cronómetro o cámara de video. Las fuentes de inexactitud incluirían incertidumbres en las mediciones de tiempo y duración, así como la resistencia al aire. Un plano inclinado ralentiza las cosas para permitir mediciones de tiempo más precisas, pero agrega incertidumbre en el ángulo del plano.

Podríamos convertir la ecuación en una estimación para [math] r [/ math] e investigar todas las incertidumbres y comparar el resultado con el valor conocido de [math] r. [/ Math]

[matemáticas] r = \ sqrt {\ dfrac {GM} {g}} [/ matemáticas]

No podemos saber cuánto de [matemáticas] GM [/ matemáticas] se debe a [matemáticas] G [/ matemáticas] y cuánto se debe a [matemáticas] M [/ matemáticas] sin una medición de [matemáticas] G [ / matemáticas] directamente.

Como la gravedad es tan débil, es difícil medir la atracción entre dos masas conocidas con precisión, pero se puede hacer. CODATA enumera la incertidumbre relativa en [matemática] G [/ matemática] como [matemática] 4.7 \ veces 10 ^ {- 5} [/ matemática], por lo que nos hemos vuelto bastante buenos en eso. Pero sabemos que la constante de Planck a una incertidumbre relativa de [matemáticas] 10 ^ {- 8} [/ matemáticas], tres cifras más significativas, 4000 veces más precisas.

Todas nuestras mediciones de [matemática] M [/ matemática] dependen de [matemática] G, [/ matemática], por lo que son al menos tan inexactas. Podríamos conectar un valor conocido de [math] r [/ math] en nuestra ecuación y obtener [math] M [/ math] de esa manera. O podemos calcular la masa de la tierra midiendo algunas cosas en órbita. Por ejemplo, podemos medir qué tan lejos está la luna y cuánto tiempo tarda en orbitar la tierra, y a partir de eso estimar la masa de la tierra. La masa de la luna no entra en la ecuación, al igual que nuestra masa no entró en la ecuación para [matemáticas] g. [/ Matemáticas] La constante [matemáticas] G [/ matemáticas] de Newton es, por supuesto, un factor en el cálculo.

Parece un proyecto divertido. Buena suerte.

Answer 3

Teóricamente, hay correcciones de GR, pero más prácticamente hay efectos más importantes. En primer lugar, la Tierra está girando, lo que hay que tener en cuenta. Además, la tierra no es perfectamente simétrica; hay cierta dependencia en la densidad del material que está cerca bajo tus pies. Esos son los que conozco fuera de mi cabeza.