Ya se han ofrecido dos pruebas detalladas en respuestas anteriores, por lo que trataré de discutir alguna teoría general y comenzar ofreciendo una pista: simplificar
[matemáticas] \ begin {eqnarray *} \ sum_ {k = 0} ^ n (2k + 1) ^ 2 & = & \ sum_ {k = 0} ^ n (4k ^ 2 + 4k +1) \\ & = & 4 \ cdot \ sum_ {k = 0} ^ nk ^ 2 + 4 \ cdot \ sum_ {k = 0} ^ nk + \ sum_ {k = 0} ^ n 1. \ end {eqnarray *} [/ math]
Como sabemos eso
[matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ nk = \ frac {n (n + 1)} {2} \; \ mbox {y} \; \ sum_ {k = 0} ^ n 1 = n, [/ math]
- Sin usar el método gráfico, ¿puedes resolver la ecuación [matemáticas] 2 ^ x = 8x [/ matemáticas]?
- Pregunta de tarea: ¿Qué valor de x hace que la ecuación 4x = 24 sea verdadera?
- ¿Cómo me ayuda el álgebra abstracta como estudiante de física o estudiante de ingeniería?
- Si [matemática] 2 + i \ sqrt {3} [/ matemática] es una raíz de [matemática] x ^ 2 + Px + Q = 0 [/ matemática] y si [matemática] P [/ matemática] y [matemática] Q [/ math] son reales, ¿qué es [math] P + Q [/ math]?
- Si [matemática] a ^ 2 + b ^ 2 = 13 [/ matemática] y [matemática] a ^ 3 + b ^ 3 = 35 [/ matemática], ¿cuál es el valor de [matemática] a + b [/ matemática] ?
queda por calcular [matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ nk ^ 2. [/matemáticas]
Como está probando una fórmula para la suma de cuadrados de números impares, quizás ya conozca la fórmula para la suma de cuadrados de los primeros números naturales [matemáticos] n [/ matemáticos]:
[matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ nk ^ 2 = \ frac {n ^ 3} {3} + \ frac {n ^ 2} {2} + \ frac {n} {6}. [/ matemáticas]
Ahora combina todo. ¿Qué sucede si no conoce la fórmula para la suma de cuadrados de los primeros números naturales [matemáticos] n [/ matemáticos]? Es bastante fácil deducirlo.
¿Cómo? Hay un teorema muy útil, llamémoslo
El teorema de Bernoulli-Faulhaber . Si [math] d [/ math] es un número natural que la suma de [math] d [/ math] -th potencias de los primeros [math] n [/ math] números naturales es un polinominal en la variable [math] n [/ math] de degre [math] d + 1 [/ math] y con coeficientes racionales (Wikipedia los llama polinomios de Faulhaber, consulte la fórmula de Faulhaber – Wikipedia):
[matemáticas] 1 ^ d + 2 ^ d + 3 ^ d + \ cdots + n ^ d = a_ {d + 1} n ^ {d + 1} + a_dn ^ d + \ cdots + a_1n + a_0 [/ math]
para algún coeficiente racional [matemática] a_ {d + 1}, a_d, \ puntos, a_1, a_0. [/ matemática]
El teorema de Bernoulli-Faulhaber rara vez se menciona en los cursos universitarios, pero aclara mucho los diversos teoremas de suma utilizados como forraje en la enseñanza de la inducción matemática. Lo probaré al final de este post
Observe que la fórmula clásica para la suma de los primeros cuadrados [matemáticos] n [/ matemáticos] lo expresa como un polinomio:
[matemáticas] 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 3 ^ 2 + \ cdots + n ^ 2 = \ frac {n ^ 3} {3} + \ frac {n ^ 2} {2} + \ frac {n} { 6} [/ matemáticas]
¿Cómo encontrar este polinomio si no lo sabemos de antemano? El método clásico de coeficientes indeterminados ayuda. Si aceptamos el Teorema de Bernoulli-Faulhaber sin pruebas (pero lo probaré tarde en esta publicación) y supongo que la suma de los primeros cuadrados [matemáticos] n [/ matemáticos] es un polinomio cúbico en [matemáticos] n [/ matemáticos] , podemos escribir
[matemáticas] 0 ^ 2 + 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 3 ^ 2 + \ cdots + n ^ 2 = An ^ 3 + Bn ^ 2 + Cn + D [/ matemáticas]
para algunos coeficientes [matemática] A, B, C, D [/ matemática] que deseamos determinar. Tomando [math] n = 0, [/ math] inmediatamente vemos que [math] D = 0 [/ math]. Ahora compare nuestra suma con la siguiente, un poco más:
[matemáticas] \ begin {eqnarray *} && 0 ^ 2 + 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 3 ^ 2 + \ cdots + n ^ 2 = An ^ 3 + Bn ^ 2 + Cn \\ && 0 ^ 2 + 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 3 ^ 2 + \ cdots + n ^ 2 + (n + 1) ^ 2 = A (n + 1) ^ 3 + B (n + 1) ^ 2 + C (n + 1) \ end {eqnarray *} [/ math]
y, restando uno del otro, tenemos
[matemáticas] (n + 1) ^ 2 = A [(n + 1) ^ 3 – n ^ 3] + B [(n + 1) ^ 2-n ^ 2] + C [(n + 1) -n ][/matemáticas]
o después de abrir todos los corchetes y recopilar términos similares, tenemos
[matemática] n ^ 2 + 2n + 1 = 3An ^ 2 + (3A + 2B) n + (A + B + C). [/ matemática]
Igualando coeficientes a potencias iguales de [matemáticas] n [/ matemáticas], obtenemos
[matemáticas] 1 = 3A, \ quad 2 = 3A + 2B, \ quad 1 = A + B + C, [/ matemáticas]
desde donde podemos determinar los coeficientes [matemática] A [/ matemática], [matemática] B [/ matemática] y [matemática] C [/ matemática] uno por uno
[matemáticas] A = \ frac {1} {3}, \ quad B = \ frac {1} {2}, \ quad C = \ frac {1} {6}, [/ matemáticas]
obteniendo así una fórmula para la suma de los primeros n cuadrados:
[matemáticas] 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 3 ^ 2 + \ cdots + n ^ 2 = \ frac {n ^ 3} {3} + \ frac {n ^ 2} {2} + \ frac {n} { 6} [/ matemáticas]
Pero demostramos que bajo el supuesto de que el lado derecho es un polinomio cúbico; Como todavía no conocíamos ninguna prueba del Teorema de Bernoulli-Faulhaber (llamémoslo BFT), solo adivinamos la fórmula; todavía tenemos que demostrarlo sin ninguna otra referencia al BFT, digamos por inducción matemática en [math] n [/ math].
La moraleja de esta historia es que incluso si no conocemos una prueba del BFT, aún puede ser útil como una guía heurística para formular resultados matemáticos y luego probarlos, pero solo si una prueba posterior no usa o ni siquiera menciona el El teorema de Bernoulli-Faulhaber. Y el BFT tiene un corolario fácil, que yo llamo
El teorema fundamental de la suma de secuencias polinómicas : Sea [matemático] f (x) [/ matemático] un polinomio de grado [matemático] d [/ matemático] en la variable [matemático] x [/ matemático]. Entonces la suma
[matemáticas] S (n) = f (1) + f (2) + f (3) + \ cdots + f (n-1) + f (n) [/ matemáticas]
es un polinomio en [matemáticas] n [/ matemáticas] de grado [matemáticas] d + 1 [/ matemáticas].
¿Por qué lo llamo el teorema fundamental? Porque si lo usamos para [matemáticas] f (x) = (2x + 1) ^ 2 [/ matemáticas], instantáneamente vemos que el lado izquierdo de la ecuación
[matemáticas] 0 ^ 2 + 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + \ cdots + (2n + 1) ^ 2 = \ frac {(n + 1) (2n + 1) (2n + 3)} {3} [/ matemáticas]
es un polinomio cúbico en [matemáticas] n [/ matemáticas]. Pero si dos polinomios cúbicos coinciden en 4 puntos diferentes, son iguales en todas partes. Por lo tanto, será suficiente verificar la fórmula para [matemática] n = 0,1,2,3, [/ matemática] que puede hacerse mediante la aritmética mental.
Desafortunadamente, este tipo de pensamiento no se usa con frecuencia en la enseñanza de matemáticas de pregrado.
Y esta es la prometida
Prueba del teorema de Bernoulli-Faulhaber. Solo doy una breve prueba; Es probable que el lector que llegó a estas líneas sea fluido con las manipulaciones algebraicas. La prueba se realiza inducción matemática en [matemáticas] d [/ matemáticas] en la siguiente forma: sabemos que el BFT es verdadero para [matemáticas] d = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] d = 1 [/ matemáticas] ( el primero es obvio, y el segundo es la fórmula clásica para la suma de la progresión aritmética) y realiza el paso inductivo probando el BFT para un valor particular [math] d> 1 [/ math] usando el hecho de que lo probamos para todos grados más pequeños [matemática] d ‘[/ matemática], [matemática] 0 <d' <d [/ matemática].
Ahora hacemos un truco: aunque estamos probando el BFT para alguna [matemática] d [/ matemática] en particular, consideramos la suma [matemática] \ sum_ {k = 0} ^ nk ^ {d + 1} [/ matemática] de poderes superiores y observar que
[matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ nk ^ {d + 1} = \ sum_ {k = 0} ^ n (k + 1) ^ {d + 1} – (n + 1) ^ {d + 1 }.[/matemáticas]
Luego usamos la fórmula binomial
[matemáticas] (k + 1) ^ {d + 1} = k ^ {d + 1} + c ^ {d} _ {d + 1} k ^ {d} + \ cdots + c ^ {1} _ { d + 1} k +1 [/ matemáticas]
para expandir el lado derecho y reescribir la fórmula anterior como
[matemáticas] \ begin {eqnarray *} \ sum_ {k = 0} ^ nk ^ {d + 1} & = & \ sum_ {k = 0} ^ nk ^ {d + 1} \\ && \; + c ^ {d} _ {d + 1} \ sum_ {k = 0} ^ nk ^ {d} + \ cdots + c ^ {1} _ {d + 1} \ sum_ {k = 0} ^ nk + c ^ {0} _ {d + 1} \ sum_ {k = 0} ^ n 1 \\ && \; \; – (n + 1) ^ {d + 1} \ end {eqnarray *}. [/ Math]
Las dos sumas [matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ nk ^ {d + 1} [/ matemáticas]
puede cancelarse y obtenemos, después de un reordenamiento básico,
[matemáticas] \ begin {eqnarray *} c ^ {d} _ {d + 1} \ sum_ {k = 0} ^ nk ^ {d} & = & (n + 1) ^ {d + 1} \\ && – c ^ {d-1} _ {d + 1} \ sum_ {k = 0} ^ nk ^ {d-1} – \ cdots – c ^ {1} _ {d + 1} \ sum_ {k = 0 } ^ nk -c ^ {0} _ {d + 1} \ sum_ {k = 0} ^ n 1 \ end {eqnarray *}. [/ math]
Por el supuesto inductivo, cada suma en el lado derecho es un polinomio con coeficientes racionales y de grado [matemática] \ le d [/ matemática] y [matemática] (n + 1) ^ {d + 1} [/ matemática] tiene grado [matemáticas] d + 1 [/ matemáticas]. Esto completa la prueba. Escribirlo tomó un tiempo desproporcionado: la máquina de renderización [math] \ LaTeX [/ math] de Quora es insoportablemente lenta.