Cómo demostrar por inducción [matemáticas] 1 ^ 2 + 3 ^ 2 + 5 ^ 2 + \ ldots + (2n + 1) ^ 2 [/ matemáticas] es igual a [matemáticas] \ frac {(n + 1) (2n + 1 ) (2n + 3)} {3} [/ matemáticas]

Ya se han ofrecido dos pruebas detalladas en respuestas anteriores, por lo que trataré de discutir alguna teoría general y comenzar ofreciendo una pista: simplificar

[matemáticas] \ begin {eqnarray *} \ sum_ {k = 0} ^ n (2k + 1) ^ 2 & = & \ sum_ {k = 0} ^ n (4k ^ 2 + 4k +1) \\ & = & 4 \ cdot \ sum_ {k = 0} ^ nk ^ 2 + 4 \ cdot \ sum_ {k = 0} ^ nk + \ sum_ {k = 0} ^ n 1. \ end {eqnarray *} [/ math]

Como sabemos eso

[matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ nk = \ frac {n (n + 1)} {2} \; \ mbox {y} \; \ sum_ {k = 0} ^ n 1 = n, [/ math]

queda por calcular [matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ nk ^ 2. [/matemáticas]

Como está probando una fórmula para la suma de cuadrados de números impares, quizás ya conozca la fórmula para la suma de cuadrados de los primeros números naturales [matemáticos] n [/ matemáticos]:

[matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ nk ^ 2 = \ frac {n ^ 3} {3} + \ frac {n ^ 2} {2} + \ frac {n} {6}. [/ matemáticas]

Ahora combina todo. ¿Qué sucede si no conoce la fórmula para la suma de cuadrados de los primeros números naturales [matemáticos] n [/ matemáticos]? Es bastante fácil deducirlo.

¿Cómo? Hay un teorema muy útil, llamémoslo

El teorema de Bernoulli-Faulhaber . Si [math] d [/ math] es un número natural que la suma de [math] d [/ math] -th potencias de los primeros [math] n [/ math] números naturales es un polinominal en la variable [math] n [/ math] de degre [math] d + 1 [/ math] y con coeficientes racionales (Wikipedia los llama polinomios de Faulhaber, consulte la fórmula de Faulhaber – Wikipedia):

[matemáticas] 1 ^ d + 2 ^ d + 3 ^ d + \ cdots + n ^ d = a_ {d + 1} n ^ {d + 1} + a_dn ^ d + \ cdots + a_1n + a_0 [/ math]

para algún coeficiente racional [matemática] a_ {d + 1}, a_d, \ puntos, a_1, a_0. [/ matemática]

El teorema de Bernoulli-Faulhaber rara vez se menciona en los cursos universitarios, pero aclara mucho los diversos teoremas de suma utilizados como forraje en la enseñanza de la inducción matemática. Lo probaré al final de este post

Observe que la fórmula clásica para la suma de los primeros cuadrados [matemáticos] n [/ matemáticos] lo expresa como un polinomio:

[matemáticas] 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 3 ^ 2 + \ cdots + n ^ 2 = \ frac {n ^ 3} {3} + \ frac {n ^ 2} {2} + \ frac {n} { 6} [/ matemáticas]

¿Cómo encontrar este polinomio si no lo sabemos de antemano? El método clásico de coeficientes indeterminados ayuda. Si aceptamos el Teorema de Bernoulli-Faulhaber sin pruebas (pero lo probaré tarde en esta publicación) y supongo que la suma de los primeros cuadrados [matemáticos] n [/ matemáticos] es un polinomio cúbico en [matemáticos] n [/ matemáticos] , podemos escribir

[matemáticas] 0 ^ 2 + 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 3 ^ 2 + \ cdots + n ^ 2 = An ^ 3 + Bn ^ 2 + Cn + D [/ matemáticas]

para algunos coeficientes [matemática] A, B, C, D [/ matemática] que deseamos determinar. Tomando [math] n = 0, [/ math] inmediatamente vemos que [math] D = 0 [/ math]. Ahora compare nuestra suma con la siguiente, un poco más:

[matemáticas] \ begin {eqnarray *} && 0 ^ 2 + 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 3 ^ 2 + \ cdots + n ^ 2 = An ^ 3 + Bn ^ 2 + Cn \\ && 0 ^ 2 + 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 3 ^ 2 + \ cdots + n ^ 2 + (n + 1) ^ 2 = A (n + 1) ^ 3 + B (n + 1) ^ 2 + C (n + 1) \ end {eqnarray *} [/ math]

y, restando uno del otro, tenemos

[matemáticas] (n + 1) ^ 2 = A [(n + 1) ^ 3 – n ^ 3] + B [(n + 1) ^ 2-n ^ 2] + C [(n + 1) -n ][/matemáticas]

o después de abrir todos los corchetes y recopilar términos similares, tenemos

[matemática] n ^ 2 + 2n + 1 = 3An ^ 2 + (3A + 2B) n + (A + B + C). [/ matemática]

Igualando coeficientes a potencias iguales de [matemáticas] n [/ matemáticas], obtenemos

[matemáticas] 1 = 3A, \ quad 2 = 3A + 2B, \ quad 1 = A + B + C, [/ matemáticas]

desde donde podemos determinar los coeficientes [matemática] A [/ matemática], [matemática] B [/ matemática] y [matemática] C [/ matemática] uno por uno

[matemáticas] A = \ frac {1} {3}, \ quad B = \ frac {1} {2}, \ quad C = \ frac {1} {6}, [/ matemáticas]

obteniendo así una fórmula para la suma de los primeros n cuadrados:

[matemáticas] 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 3 ^ 2 + \ cdots + n ^ 2 = \ frac {n ^ 3} {3} + \ frac {n ^ 2} {2} + \ frac {n} { 6} [/ matemáticas]

Pero demostramos que bajo el supuesto de que el lado derecho es un polinomio cúbico; Como todavía no conocíamos ninguna prueba del Teorema de Bernoulli-Faulhaber (llamémoslo BFT), solo adivinamos la fórmula; todavía tenemos que demostrarlo sin ninguna otra referencia al BFT, digamos por inducción matemática en [math] n [/ math].

La moraleja de esta historia es que incluso si no conocemos una prueba del BFT, aún puede ser útil como una guía heurística para formular resultados matemáticos y luego probarlos, pero solo si una prueba posterior no usa o ni siquiera menciona el El teorema de Bernoulli-Faulhaber. Y el BFT tiene un corolario fácil, que yo llamo

El teorema fundamental de la suma de secuencias polinómicas : Sea [matemático] f (x) [/ matemático] un polinomio de grado [matemático] d [/ matemático] en la variable [matemático] x [/ matemático]. Entonces la suma

[matemáticas] S (n) = f (1) + f (2) + f (3) + \ cdots + f (n-1) + f (n) [/ matemáticas]

es un polinomio en [matemáticas] n [/ matemáticas] de grado [matemáticas] d + 1 [/ matemáticas].

¿Por qué lo llamo el teorema fundamental? Porque si lo usamos para [matemáticas] f (x) = (2x + 1) ^ 2 [/ matemáticas], instantáneamente vemos que el lado izquierdo de la ecuación

[matemáticas] 0 ^ 2 + 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + \ cdots + (2n + 1) ^ 2 = \ frac {(n + 1) (2n + 1) (2n + 3)} {3} [/ matemáticas]

es un polinomio cúbico en [matemáticas] n [/ matemáticas]. Pero si dos polinomios cúbicos coinciden en 4 puntos diferentes, son iguales en todas partes. Por lo tanto, será suficiente verificar la fórmula para [matemática] n = 0,1,2,3, [/ matemática] que puede hacerse mediante la aritmética mental.

Desafortunadamente, este tipo de pensamiento no se usa con frecuencia en la enseñanza de matemáticas de pregrado.

Y esta es la prometida

Prueba del teorema de Bernoulli-Faulhaber. Solo doy una breve prueba; Es probable que el lector que llegó a estas líneas sea fluido con las manipulaciones algebraicas. La prueba se realiza inducción matemática en [matemáticas] d [/ matemáticas] en la siguiente forma: sabemos que el BFT es verdadero para [matemáticas] d = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] d = 1 [/ matemáticas] ( el primero es obvio, y el segundo es la fórmula clásica para la suma de la progresión aritmética) y realiza el paso inductivo probando el BFT para un valor particular [math] d> 1 [/ math] usando el hecho de que lo probamos para todos grados más pequeños [matemática] d ‘[/ matemática], [matemática] 0 <d' <d [/ matemática].

Ahora hacemos un truco: aunque estamos probando el BFT para alguna [matemática] d [/ matemática] en particular, consideramos la suma [matemática] \ sum_ {k = 0} ^ nk ^ {d + 1} [/ matemática] de poderes superiores y observar que

[matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ nk ^ {d + 1} = \ sum_ {k = 0} ^ n (k + 1) ^ {d + 1} – (n + 1) ^ {d + 1 }.[/matemáticas]

Luego usamos la fórmula binomial

[matemáticas] (k + 1) ^ {d + 1} = k ^ {d + 1} + c ^ {d} _ {d + 1} k ^ {d} + \ cdots + c ^ {1} _ { d + 1} k +1 [/ matemáticas]

para expandir el lado derecho y reescribir la fórmula anterior como

[matemáticas] \ begin {eqnarray *} \ sum_ {k = 0} ^ nk ^ {d + 1} & = & \ sum_ {k = 0} ^ nk ^ {d + 1} \\ && \; + c ^ {d} _ {d + 1} \ sum_ {k = 0} ^ nk ^ {d} + \ cdots + c ^ {1} _ {d + 1} \ sum_ {k = 0} ^ nk + c ^ {0} _ {d + 1} \ sum_ {k = 0} ^ n 1 \\ && \; \; – (n + 1) ^ {d + 1} \ end {eqnarray *}. [/ Math]

Las dos sumas [matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ nk ^ {d + 1} [/ matemáticas]

puede cancelarse y obtenemos, después de un reordenamiento básico,

[matemáticas] \ begin {eqnarray *} c ^ {d} _ {d + 1} \ sum_ {k = 0} ^ nk ^ {d} & = & (n + 1) ^ {d + 1} \\ && – c ^ {d-1} _ {d + 1} \ sum_ {k = 0} ^ nk ^ {d-1} – \ cdots – c ^ {1} _ {d + 1} \ sum_ {k = 0 } ^ nk -c ^ {0} _ {d + 1} \ sum_ {k = 0} ^ n 1 \ end {eqnarray *}. [/ math]

Por el supuesto inductivo, cada suma en el lado derecho es un polinomio con coeficientes racionales y de grado [matemática] \ le d [/ matemática] y [matemática] (n + 1) ^ {d + 1} [/ matemática] tiene grado [matemáticas] d + 1 [/ matemáticas]. Esto completa la prueba. Escribirlo tomó un tiempo desproporcionado: la máquina de renderización [math] \ LaTeX [/ math] de Quora es insoportablemente lenta.

Deje [math] S (n) [/ math] ser la declaración:

[matemáticas] 1 ^ {2} + 3 ^ {2} + 5 ^ {2} + \ puntos + (2n + 1) ^ {2} = \ dfrac {(n + 1) (2n + 1) (2n + 3 )} {3} [/ matemáticas]; [matemáticas] n \ geq {0} [/ matemáticas]

Paso básico: [matemática] S (0) [/ matemática]:

LHS: [matemática] \ grande (2 (0) +1 \ grande) ^ {2} = 1 [/ matemática]

RHS: [matemáticas] \ dfrac {\ big ((0) +1 \ big) \ big (2 (0) +1 \ big) \ big (2 (0) +3 \ big)} {3} = \ dfrac {(1) (1) (3)} {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ hspace {68.5 mm} = 1 [/ matemáticas]

[matemática] \ hspace {47.5 mm} [/ matemática] LHS [matemática] = [/ matemática] RHS [matemática] \ hspace {1 mm} [/ matemática] (verificado).

Paso inductivo:

Suponga que [matemáticas] S (k) [/ matemáticas] es verdadero, es decir, suponga que [matemáticas] 1 ^ {2} + 3 ^ {2} + 5 ^ {2} + \ puntos + (2k + 1) ^ {2} = \ dfrac {(k + 1) (2k + 1) (2k + 3)} {3} [/ matemáticas]; [matemáticas] k \ geq {0} [/ matemáticas]

[matemáticas] S (k + 1) [/ matemáticas]: [matemáticas] \ subrayado {1 ^ {2} + 3 ^ {2} + 5 ^ {2} + \ puntos + (2k + 1) ^ {2}} + \ big (2 (k + 1) +1 \ big) ^ {2} [/ math]

[matemáticas] \ hspace {13 mm} = \ dfrac {(k + 1) (2k + 1) (2k + 3)} {3} + (2k + 2 + 1) ^ {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ hspace {13 mm} = \ dfrac {(k + 1) (2k + 1) (2k + 3) +3 (2k + 3) ^ {2}} {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ hspace {13 mm} = \ dfrac {(2k + 3) \ big ((k + 1) (2k + 1) +3 (2k + 3) \ big)} {3} [/ math]

[matemáticas] \ hspace {13 mm} = \ dfrac {(2k + 3) \ big ((k + 1) (2k + 1) + 6k + 9 \ big)} {3} [/ matemática]

[matemáticas] \ hspace {13 mm} = \ dfrac {(2k + 3) (2k ^ {2} + k + 2k + 1 + 6k + 9)} {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ hspace {13 mm} = \ dfrac {(2k + 3) (2k ^ {2} + 9k + 10)} {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ hspace {13 mm} = \ dfrac {(2k + 3) (2k ^ {2} + 9k + 10)} {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ hspace {13 mm} = \ dfrac {(2k + 3) (2k ^ {2} + 4k + 5k + 10)} {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ hspace {13 mm} = \ dfrac {(2k + 3) \ big (2k (k + 2) +5 (k + 2) \ big)} {3} [/ math]

[matemáticas] \ hspace {13 mm} = \ dfrac {(2k + 3) (k + 2) (2k + 5)} {3} [/ matemáticas]

Entonces, [matemática] S (k + 1) [/ matemática] es verdadera siempre que [matemática] S (k) [/ matemática] sea verdadera.

Por lo tanto, [matemáticas] 1 ^ {2} + 3 ^ {2} + 5 ^ {2} + \ dots + (2n + 1) ^ {2} = \ dfrac {(n + 1) (2n + 1) (2n +3)} {3} [/ matemáticas]; [matemáticas] n \ geq {0} [/ matemáticas].

El enfoque directo:

Para [matemáticas] n = 0 [/ matemáticas], está claro que [matemáticas] 1 ^ 2 = 1 = \ frac {(1) (1) (3)} 3. [/ Matemáticas]

Ahora podemos suponer que esta fórmula es válida para algún valor de [math] n [/ math] (ya que acabamos de demostrar que sí). Ahora, si consideramos [matemáticas] n + 1 [/ matemáticas], la suma se convierte en

[matemáticas] 1 ^ 2 + 3 ^ 2 + \ ldots + (2n + 1) ^ 2 + (2n + 3) ^ 2 [/ matemáticas]

Y conocemos la suma de todos menos el último de estos términos, por lo que podemos sustituir eso al salir:

[matemáticas] 1 ^ 2 + 3 ^ 2 + \ ldots + (2n + 1) ^ 2 + (2n + 3) ^ 2 = \ frac {(n + 1) (2n + 1) (2n + 3)} 3+ (2n + 3) ^ 2 [/ matemáticas]

Algunos álgebra da:

[matemáticas] 1 ^ 2 + 3 ^ 2 + \ ldots + (2n + 1) ^ 2 + (2n + 3) ^ 2 = (2n + 3) \ left (\ frac {(n + 1) (2n + 1) } 3+ (2n + 3) \ derecha) [/ matemáticas]

Entonces esto es igual a:

[matemática] (2n + 3) \ izquierda (\ frac {(n + 1) (2n + 1) + (6n + 9)} 3 \ derecha) [/ matemática]

Que es igual a:

[matemáticas] (2n + 3) \ izquierda (\ frac {2n ^ 2 + 9n + 10} 3 \ derecha) [/ matemáticas]

Que es igual a:

[matemáticas] \ frac {(n + 2) (2n + 3) (2n + 5)} 3 [/ matemáticas]

Lo que finalmente es igual a:

[matemáticas] \ frac {((n + 1) +1) (2 (n + 1) +1) (2 (n + 1) +3)} 3 [/ matemáticas]

Y vemos que esto es exactamente lo que la fórmula predice cuando conectamos [math] n + 1 [/ math]. Como hemos demostrado que la reclamación es válida para cero y que si es válida para cualquier número natural, también debe ser válida para su sucesor, se deduce por inducción que la reclamación debe ser válida para todos los números naturales.


Aquí hay una forma más divertida. Comencemos por usar primero la inducción para probar el resultado mucho más utilizado:

[matemática] 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + \ ldots + n ^ 2 = \ frac n6 (n + 1) (2n + 1) [/ matemática]

Nuevamente, el caso base de cero es trivial. Luego asumimos la igualdad para [math] n [/ math] y consideramos la suma de los primeros términos [math] (n + 1) [/ math]. Entonces obtenemos:

[matemáticas] 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + \ ldots + n ^ 2 + (n + 1) ^ 2 = \ frac n6 (n + 1) (2n + 1) + (n + 1) ^ 2 = \ frac {(n + 1) ((n + 1) +1) (2 (n + 1) +1)} 6 [/ matemáticas]

Y hemos demostrado que el resultado es válido para todos los números naturales.

Entonces, ¿cómo podemos usar esta fórmula para verificar la suma que solicitó? ¡Lo aplicamos dos veces y restamos!

Primero, aplicamos el resultado comprobado para [math] (2n + 1) [/ math] para obtener:

[matemáticas] 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + \ ldots + (2n + 1) ^ 2 = \ frac {(2n + 1) ((2n + 1) +1) (2 (2n + 1) +1)} 6 = \ frac {(2n + 1) (n + 1) (4n + 3)} 3 [/ matemáticas]

Luego nos damos cuenta de que si examinamos los términos pares de la serie anterior, después de factorizar un cuatro, obtenemos exactamente el resultado comprobado aplicado a [matemáticas] n [/ matemáticas]:

[matemáticas] 2 ^ 2 + 4 ^ 2 + \ ldots + (2n) ^ 2 = 4 (1 ^ 2 + 2 ^ 2 + \ ldots + n ^ 2) = 4 \ frac {n (n + 1) (2n + 1)} 6 [/ matemáticas]

Entonces la suma que busca debe ser la diferencia de estos dos resultados:

[matemáticas] 1 ^ 2 + 3 ^ 2 + \ ldots + (2n + 1) ^ 2 = \ frac {(2n + 1) (n + 1) (4n + 3)} 3- \ frac {2n (n + 1 ) (2n + 1)} 3 = \ frac {(2n + 1) (4n ^ 2 + 7n + 3- (2n ^ 2 + 2n))} 3 = \ frac {(2n + 1) (2n ^ 2 + 5n + 3)} 3 = \ frac {(n + 1) (2n + 1) (2n + 3)} 3 [/ matemáticas]

Las pruebas estándar, y varias variantes, se han dado en otras respuestas bellamente escritas.

Me gustaría agregar solo eso para cualquier inducción que afirme que la suma de una serie determinada es un polinomio particular (un tipo de problema estándar), hay un ‘truco avanzado’ para evitar la manipulación algebraica.

Al pasar del enésimo caso al caso (n + 1) st, terminamos teniendo que demostrar que dos polinomios son idénticamente iguales. En el problema dado, debemos mostrar que (1/3) (n + 1 (2n + 1) (2n + 3) + (2n + 3) ^ 2 = (1/3) ((n + 1) + 1) (2 (n + 1) + 1) (2 (n + 1) + 3).

Pero estos son polinomios cúbicos. Si están de acuerdo en más de tres puntos, entonces deben estar de acuerdo en todas partes. ¡Tan solo conecte n = 1, 2, 3, 4 y la prueba estará lista! Álgebra-schmalgebra.

Y probablemente haya hecho algo de esta aritmética de todos modos, al verificar los primeros casos que inician la inducción.

No sé por qué hay tanta dificultad con signos mayores que e iguales …

Solo imagine estos como una escala condicionalmente desequilibrada.

Por humor, imagine que un maestro de ceremonias espera ansiosamente con un elefante entrenado para ser pesado, porque su cartera está fuertemente conferida a los fabricantes de básculas y está ‘haciendo todo lo posible para traerles algunos negocios’.

Por lo tanto, incluso si no sopesarías a ese Elefante Primero, también Cuando encuentres un signo igual, el primer lugar donde comienzas es: dónde está la Igualdad.

Y deduces eso primero para proceder a:

lanzar la menos igual no ayuda mucho cuando la catapulta la arroja a una distancia no menor de 400 pies.

Entonces … debe agregar peso a uno o ambos lados de la palanca / catapulta, para evitar que arroje sus shtuffs.

Como la Desigualdad se implica mejor como una Escala, por supuesto, la inducción es integral: Agregar peso.

Por lo general, esto es para ambos lados, lo que no altera la pendiente °, que revela qué lado pesa más en la ‘escala de la justicia’.

Sin embargo, científicamente, uno debe colocarlos suavemente en ese apalancamiento, de lo contrario, el contrapeso causará una reacción similar a una catapulta, al igual que un pipí en una cuchara colocado en el borde de una mesa, de hecho puede arrojar ese guisante a una gran distancia cuando pareces inocente y tonto, pero también están invocando Física, en la que ingresas a un Reino no

x> y pero en cambio

[matemáticas] E> MC ^ 2 / € [/ matemáticas]

[matemáticas] E- □ = MC ^ 2 / € [/ matemáticas]

Ni x

[matemáticas] E

[matemáticas] E + □ = MC ^ 2 / € [/ matemáticas]

Y los pies que se arrojan, se basan en la proporción de:

[matemáticas] E: MC ^ 2 / € [/ matemáticas]

Lo que a veces arroja E, para consternación de los seguidores de Einstein que niegan hechos que

la ecuación es una catapulta selectiva que acepta solo piedras perfectamente lisas y redondeadas

Lo que le aseguro: no está presente en ningún campo de batalla del presente o pasado, ni lo estará en ningún campo de batalla remoto en el futuro, después de que se haga realidad ese excelente dicho de los respetables HG Wells:

No sé con qué armas se peleará la Tercera Guerra Mundial, pero sí sé esto: la Guerra Mundial 4 se librará con palos y piedras.