Teoría de números: ¿cómo encuentro todos los números reales [matemática] r [/ matemática] de modo que [matemática] n ^ r [/ matemática] sea un número entero para todos los enteros positivos [matemática] n [/ matemática]?

Answer 1

Este fue un problema de Putnam hace varias décadas, estoy bastante seguro. Necesitaré cavar un poco para encontrarlo. No es súper difícil, pero más complicado de lo que parece a primera vista.

Consejos:

• ¿Hay tales números [matemáticas] r [/ matemáticas] con [matemáticas] 0 <r <1 [/ matemáticas]? Considere el hecho de que la secuencia [matemática] n ^ r [/ matemática] está compuesta de enteros positivos, pero tiene una tasa de crecimiento inusual para dicha secuencia.
• Ahora intente manejar [matemáticas] 1 <r <2 [/ matemáticas], considerando la expresión [matemáticas] (n + 1) ^ rn ^ r [/ matemáticas]. Esta es la "primera diferencia finita" [matemática] f (n + 1) -f (n) = \ Delta_1 f (n) [/ matemática] de la función [matemática] f (n) = n ^ r [/ matemática ]
• Si está familiarizado con la teoría de las diferencias finitas, puede adivinar lo que viene después. Si no, piense en [matemáticas] \ Delta_2 f (n) = \ Delta_1 f (n + 1) – \ Delta_1 f (n) [/ matemáticas]. Vea si puede usar eso para manejar [matemáticas] 2 <r <3 [/ matemáticas].
• Proceder por inducción.

Aquí hay un hecho muy sorprendente (que mencioné antes en Quora): es suficiente saber que [matemáticas] 2 ^ r [/ matemáticas], [matemáticas] 3 ^ r [/ matemáticas] y [matemáticas] 5 ^ r [/ matemáticas] son ​​números enteros para forzar a [matemáticas] r [/ matemáticas] a ser un número entero, pero este es un problema extremadamente difícil, resuelto mediante el teorema de los seis exponenciales. Aún más increíblemente, no se sabe si [math] r [/ math] debe ser un número entero dado que [math] 2 ^ r [/ math] y [math] 3 ^ r [/ math] son ​​números enteros. Un problema abierto tan fascinante (que se resolvería si se resuelve la conjetura de los cuatro exponenciales).

Answer 2

Para todos los enteros positivos, n, desea el conjunto de reales de modo que [math] n ^ r [/ math] sea un entero.

Claramente, si r es un número natural: 0, 1, 2, 3, …, entonces [math] n ^ r [/ math] es un número entero.

¿Qué pasa si r es un número racional que no es un número entero?

Esto no funcionara. Supongamos que r = 3/2. Entonces [math] n ^ \ frac {3} {2} [/ math] es solo un número entero si su raíz cuadrada es un número entero. Este razonamiento es válido para cualquier fracción, r.

Peor es si r es irracional. [matemáticas] n ^ {irracional} [/ matemáticas] rara vez es un número entero.

Entonces, solo si r es un número natural es [math] n ^ r [/ math] un entero, por cada entero positivo, n.