¿Cuál es la función de densidad de probabilidad de una onda seno / coseno?

Answer 1

Esta es una pregunta interesante, y me la hice a mí mismo en un intento por comprender la probabilidad de una manera que es independiente del concepto filosófico de aleatoriedad.

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Una función seno, por sí misma, no tiene una distribución de probabilidad. Sin embargo, podríamos definir uno si interpretamos esta pregunta como “si estuviéramos observando una onda sinusoidal durante mucho tiempo, ¿qué fracción del tiempo estaría por encima de algún valor [matemática] c [/ matemática]? [Matemática]” [/matemáticas]

Podemos colocar esto en una base más rigurosa definiendo el espacio de probabilidad específico que nos permite hacer esto:

Primero, sabemos que [math] sin (x) [/ math] [math]: \ mathbb {R} \ to [-1,1] \ subset \ mathbb {R} [/ math]. Segundo, en lugar de estudiar [matemáticas] sin (x) [/ matemáticas] en toda la línea real, solo veremos un período completo [matemáticas] x \ en [0,2 \ pi] [/ matemáticas]. Esto significa que la imagen previa de [math] sin (x), [/ math] escrita como [math] \ sin ^ {- 1} (x) [/ math] caerá en [math] [0,2 \ pi] [/ matemáticas].

Con estos ingredientes, podemos definir nuestro espacio de probabilidad: es el espacio de probabilidad definido sobre [matemáticas] [0,2 \ pi] [/ matemáticas] (el espacio muestral), con eventos ([matemáticas] E [/ matemáticas]) siendo uniones contables, intersecciones y complementos de los subconjuntos abiertos de [matemáticas] [0,2 \ pi]. [/ math] Finalmente, la probabilidad de un evento es solo una medida normalizada de Lebesgue: [math] P_X (E) = \ frac {\ rm {Leb} (E)} {\ rm {Leb} ([0,2 \ pi])} = \ frac {\ rm {Leb} (E)} {2 \ pi} [/ math]

Nota: Cuando evalúa una función [matemática] f (x) [/ matemática] con un argumento establecido como [matemática] [0,1] [/ matemática] significa que la salida también será un conjunto: [matemática] [ f (x): x \ in [0,1]]. [/ math] Esto se llama la imagen de una función.

Ahora, podemos avanzar la medida de probabilidad que definimos anteriormente en [matemáticas] [0,2 \ pi] [/ matemáticas] al espacio transformado definido por [matemáticas] sin (x): x \ en [0,2 \ pi] [/ matemáticas]:

[matemáticas] P (sin (x) \ en Z) = P_X (sin ^ {- 1} (Z)) = \ frac {\ rm {Leb} (sin ^ {- 1} (Z))} {2 \ pi} [/ matemáticas]

Donde [matemáticas] Z \ subconjunto [-1,1]. [/ Matemáticas]

Una forma natural de ver la distribución de [math] sin [/ math] dado lo anterior es calcular la función de distribución acumulativa [math] F_ {sin} (x): [/ math]

[matemáticas] F_ {sin} (c) = P (sin (x) \ en [-1, c]), c \ en [-1,1] [/ matemáticas]

Usando la noción de una medida de avance, sabemos que esto es equivalente a

[matemáticas] F_ {sin} (c) = P_X (sin ^ {- 1} ([- 1, c])), c \ en [-1,1] [/ matemáticas]

Para construir esta probabilidad, necesitamos calcular la longitud total de los segmentos de línea definidos por [math] sin ^ {- 1} ([- 1, c]) [/ math]. Como primer paso, reconocemos que para cualquier [matemática] c \ en [-1,0) \ cup (0,1] [/ matemática], la línea [matemática] y = c [/ matemática] se cruzará [ matemática] sin (x) [/ matemática] en dos (posiblemente degenerados) [matemática] x [/ matemática] valores llamados [matemática] x_1, x_2 [/ matemática]. La longitud de la línea horizontal entre los dos puntos de intersección se puede calcular como:

[matemáticas] | x_1-x_2 | (c) = 2 | sin ^ {- 1} (| c |) – \ frac {\ pi} {2} | [/ matemáticas]

Para [math] c = 0, [/ math] podemos establecer [math] | x_1-x_2 | = \ pi. [/ math] Esto resuelve cualquier ambigüedad resultante del hecho de que la línea se cruzará en tres ubicaciones [math] (0, \ pi, 2 \ pi). [/ math] El primer segmento de línea ([math] 0, \ pi ) [/ math] ya no es aplicable ya que [math] sin [/ math] está por encima de [math] 0 [/ math] para cada punto en este segmento (de modo que solo el segundo intervalo tiene una medida de Lebesgue distinta de cero).

Podemos usar lo anterior para calcular la medida de Lebesgue para [math] sin (x) \ leq c [/ math]:

[matemáticas] \ rm {Leb} (sin ^ {- 1} ([- 1, c])) = \ mathbf {1} _ {- 1 \ leq c \ leq 0} [| x_1-x_2 | (c) ] + \ mathbf {1} _ {1 \ geq c> 0} [2 \ pi – | x_1-x_2 | (c)] = 2sin ^ {- 1} (c) + \ pi [/ math]

Si ahora normalizamos por [math] 2 \ pi [/ math], obtenemos nuestro cdf:

[matemáticas] F_ {sin} (c) = \ frac {sin ^ {- 1} (c) + \ frac {\ pi} {2}} {\ pi} [/ matemáticas]

El CDF se ve así:

La función de densidad se puede determinar a partir del cálculo estándar:

[matemática] \ frac {d} {dc} F_ {sin} (c) = \ frac {1} {\ pi \ sqrt {1-c ^ 2}} [/ matemática]

La densidad resultante es un tanto extraña porque la densidad se aproxima al infinito en los puntos finales (pero la integral impropia converge, así que estamos bien: [matemática] [/ matemática] [matemática] \ forall b \ in (0, \ infty): \ lim_ {a \ a 0 ^ +} \ int_a ^ bx ^ {- 1/2} dx \ leq \ infty [/ math]):

Lo que esto significa es que la función de pecado pasa más tiempo en los extremos que hacia sus valores moderados. Esto tiene sentido ya que la tasa de cambio de la función es mayor alrededor de sus ceros.

Answer 2

la onda sinusoidal pasa la mayor parte de su tiempo cerca de los picos cuando su pendiente es cero y no tiene prisa por alejarse del pico … también pasa poco tiempo cerca de cero donde cruza cero en su pendiente máxima. El pdf para la onda sinusoidal x = Asin (wt + phi) es 1 / [pi * sqrt (1- (x / R) ^ 2)], que es bimodal … con grandes excursiones positivas (infinitas) en x = + / – R y 1 / pi en x = 0,

Answer 3

Gracias por hacerme esta pregunta, Skanda. ¡Amaba mucho la probabilidad, y usted ha reavivado mi pasión por la probabilidad al hacerme esta pregunta! OK, corrígeme si me equivoco, pero creo que si pudiera resolver matemáticamente este problema es como: Y = Vsin (X),

donde, Y es la nueva variable aleatoria transformada, cuyo pdf desea encontrar,

V es la amplitud de la onda sinusoidal (durante el ciclo + ve, el seno alcanza + V y durante el ciclo -ve pasa a -V, y está limitado entre estas extremidades en todo momento)

X es la variable aleatoria original (la entrada RV, si lo desea) cuyo pdf no ha especificado.

Esto es básicamente un proceso aleatorio determinista que se parametriza por la variable X, a saber, si se conoce X, la muestra particular de ese conjunto puede determinarse completamente. Como no ha especificado el pdf de la variable aleatoria, para el nonce, asumiré una distribución general y aludiré al pdf de X como [math] f_X (x) [/ math]. Además, para simplificar la solución, supongamos que el rango de la variable aleatoria, X, es solo un ciclo de la onda sinusoidal, solo para que no tengamos que dividir el problema en dos regiones mientras calculamos el inverso.

Entonces este problema es un caso de una transformación lineal simple de la variable aleatoria, X. Según esa teoría, el pdf de Y puede escribirse como:

[matemáticas] f_Y (y) = f_X (x1) / (| dY / dX |) + f_X (x2) / (| dY / dX |) +…, [/ matemáticas]

donde x1 y x2 corresponden a los valores de x para los cuales y tiene el mismo valor. Simplemente haré el cálculo para x1 y supondré lo mismo para todos los demás valores de X que producen los mismos valores de Y.

Como dY / dX = Vcos (X) y X = inversa-sin (Y / V),

f_Y (y) = f_X (x) / (V * sqrt (1-sin ^ 2 (X))) +… (ya que cos (x) = sqrt (1-sin ^ 2 (x)))

Por lo tanto, f_Y (y) = f_X (x) / (V * sqrt (1- (Y ^ 2) / (V ^ 2)) +…

Entonces, f_Y (y) = f_X (x) / sqrt (V ^ 2 – Y ^ 2) +….

Este es el pdf de Y y está restringido al rango entre + V y -V. Si conoce el pdf de X, simplemente sustituya la fórmula anterior, y listo: ya está, está en casa.

Como dije, he hecho muchas suposiciones simplificadoras, solo para simplificar la solución, la principal es que X está limitado a un solo ciclo de la onda sinusoidal, pero si eso no te parece del todo aceptable, siempre puedes modificar agregando las 2 regiones donde Y tiene el mismo valor para múltiples valores de X. Básicamente obtendrá muchos términos en la suma anterior en ese caso.

Espero que ayude. Nuevamente, gracias por reavivar mi conocimiento latente de probabilidad, el único tema que siempre amé.