Procesamiento de señal: ¿Cuáles son las diferencias entre una transformación de Laplace y de Fourier?

Answer 1

Ø Fourier es un subconjunto de Laplace. Laplace es una transformación más generalizada.

Fourier se usa principalmente para el análisis de señales de estado estacionario , mientras que Laplace se usa para el análisis de señales transitorias . Laplace es bueno para buscar la respuesta a pulsos, funciones de paso, funciones delta, mientras que Fourier es bueno para señales continuas.

Las transformaciones se usan porque los modelos matemáticos de sistemas de dominio de tiempo son generalmente ecuaciones diferenciales complejas. Transformar estas ecuaciones diferenciales complejas en expresiones algebraicas más simples hace que sean mucho más fáciles de resolver. Una vez que se encuentra la solución a la expresión algebraica, la transformación inversa le dará la respuesta en el dominio del tiempo.

Durante muchos años he tratado de obtener una buena respuesta para la relación de transformadas de Laplace y Fourier. Muchas de las explicaciones solo mencionan que la relación es que s = a + jw, por lo que la transformación de Fourier se convierte en un caso especial de la transformación de Laplace. Triste explicación. Mejores explicaciones tratan de que Laplace se usa para estudios de estabilidad y Fourier para respuestas sinusoidales de sistemas. Usando esa información, concluyo que como los sistemas son estables si la parte real de s es negativa, es decir, hay un transitorio que desaparecerá con el tiempo, en esos casos, es conveniente usar Fourier. Por supuesto, perderá la percepción de la parte transitoria. Laplace debería poder determinar la respuesta completa de un sistema, ya sea estable o inestable, incluidas las partes transitorias.

Answer 2

Según la prueba de razón, para que una serie de potencia converja, el límite de la razón de términos consecutivos debe ser menor que la unidad, ya que n (el número de términos en la serie) tiende al infinito.

Si este límite es mayor que la unidad, entonces la serie diverge. Sin embargo, para el caso, cuando este límite es igual a la unidad, determinar la convergencia / divergencia no es fácil. Ver Prueba de relación, en la sección ‘Ejemplos’ .

Por lo tanto, es fácil evaluar la convergencia dentro o fuera del círculo unitario (la variable compleja se representa mediante un diagrama polar), pero es difícil en el límite del círculo unitario.

La transformada de Fourier y la transformada de Laplace se pueden ver como sumas continuas de una serie de potencias de una exponencial compleja, utilizando la fórmula de De Moivre.

La transformación de Laplace, que se define como:

dónde,

utiliza una sinusoide amortiguada (es decir, la envolvente de la exponencial disminuye con el tiempo), por lo tanto, la prueba de relación conduce a un límite inferior a la unidad. Por lo tanto, probar la convergencia es fácil.

La transformación de Fourier se define como:

Como se puede ver, la transformada de Fourier usa una sinusoide con una constante (unidad: simplemente ponga sigma = 0 en la expresión de Laplace anterior), envolvente. Por lo tanto, la prueba de relación conduce a un límite igual a la unidad, para el cual determinar la convergencia no es fácil.

Esta es la razón por la cual las transformadas de Laplace se utilizan para el análisis de estabilidad , mientras que las transformadas de Fourier no.

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PD : Tenga en cuenta que el ‘contorno’ que separa la región de convergencia de la de divergencia es un círculo solo para el caso de sumas discretas (series de potencia) de una variable compleja. Un buen ejemplo es la transformación z. (Recuerde que la transformación z no es más que la transformación de Laplace de una secuencia discreta; vea mi respuesta aquí):

La respuesta de Nikhil Panikkar a ¿Qué es exactamente Z en Z-Transform? ¿Qué es el dominio Z?

Entonces, para la transformación z, tendrías círculos ‘paralelos’ (es decir, concéntricos ) al círculo unitario, delimitando las regiones de convergencia y divergencia.

Para una suma continua como la transformada de Laplace o la transformada de Fourier, el contorno que separa las regiones de convergencia y divergencia es una línea recta , aquí el eje imaginario, donde sigma = 0.

Entonces, para la transformación de Laplace, para la cual sigma no es cero, se obtienen líneas paralelas al eje imaginario.

Dado que la transformada de Fourier se evalúa en el eje imaginario, es difícil evaluar su convergencia.

Aquí hay algunas figuras que muestran el mapeo entre las sumas discretas y continuas de una variable compleja (dominio z y dominio s):

Un ejemplo :

Mapeo de frecuencias entre sy dominio z – un ejemplo:

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Anexo : Una pregunta que surge naturalmente es que ¿por qué el ROC es un círculo para transformaciones discretas como la transformada z, mientras que es una línea recta para transformaciones continuas como la transformada de Laplace?

La razón es que usamos la notación polar para representar números complejos en el dominio discreto y representación rectangular en el dominio continuo. En cuanto a por qué se hace esto, vea mi respuesta aquí:

Respuesta de Nikhil Panikkar a Signals and Systems: ¿Por qué se utilizan diferentes anotaciones para representar números complejos en dominios de transformación discretos y continuos?

Ver también:

Mi blog sobre temas de Señales y Sistemas :

Nikhil en Señales y Sistemas

Answer 3

La transformación de Fourier puede considerarse como la transformación de Laplace evaluada en el eje jw (imaginario), descuidando la parte real de la frecuencia compleja s. Como se muestra en la figura siguiente, el gráfico 3D representa la transformación de Laplace y la porción 2D en la parte real de la frecuencia compleja s representa la transformación de Fourier.

El enlace dado ayuda a entender esto visualmente:
Relación de Laplace Fourier

Answer 4

Con algunas excepciones notables, la transformación de tiempo continuo de Fourier (CTFT) es solo un caso especial de la transformación de Laplace de dos lados. La transformación de Laplace de dos lados se define como:

[matemática] X (s) = \ matemática {L} \ left \ {x \ left (t \ right) \ right \} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x \ left (t \ right) e ^ {- st} \ mathrm {d} t [/ math].

Tenga en cuenta que los límites de la integración son de [matemática] – \ infty [/ matemática] a [matemática] \ infty [/ matemática] mientras que para la transformación estándar de Laplace son de [matemática] 0 [/ matemática] a [matemática] \ infty [/ math].

La Transformada de Fourier de tiempo continuo se define como

[matemáticas] X (j \ omega) = \ matemáticas {F} \ left \ {x \ left (t \ right) \ right \} = \ int _ {\ infty} ^ {\ infty} x \ left (t \ right ) e ^ {- j \ omega t} \ mathrm {d} t [/ math], donde [math] j ^ 2 = -1 [/ math] y [math] \ omega [/ math] es una frecuencia en radianes por segundo.

Un examen rápido de las dos transformaciones muestra que la configuración [math] s = j \ omega [/ math] para la transformada de Laplace de dos lados le proporciona la Transformada de Fourier de tiempo continuo. Para la mayoría de las señales con las que tratan los ingenieros eléctricos, esta sustitución funciona. Específicamente, las señales que satisfacen las llamadas condiciones de Dirichlet están garantizadas para funcionar con esta sustitución:

1. [matemáticas] x (t) [/ matemáticas] es absolutamente integrable; es decir, [matemáticas] \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x \ left (t \ right) \ mathrm {d} t = C <\ infty [/ math].
2. [matemáticas] x (t) [/ matemáticas] tiene un número finito de máximos o mínimos en cualquier intervalo finito.
3. [matemática] x (t) [/ matemática] tiene un número finito de discontinuidades en cualquier intervalo finito, sin discontinuidades que van al infinito.

Hay algunas señales importantes que no tienen transformaciones de tiempo continuo de Fourier y de Laplace. Las más útiles son las funciones exponenciales complejas: [matemática] x (t) = e ^ {j \ alpha t} [/ matemática] con [matemática] \ alfa [/ matemática] real. Estas funciones tienen la Transformación de Fourier de tiempo continuo de [math] \ mathcal {F} \ left \ {e ^ {j \ alpha t} \ right \} = 2 \ pi \ delta \ left (\ omega – \ alpha \ right) [/ math] donde [math] \ delta \ left (t \ right) [/ math] es la función de impulso de tiempo continuo definida con

[matemáticas] \ delta \ left (t \ right) = \ left \ {\ begin {array} {ll} \ infty & t = 0 \\ 0 & t \ not = 0 \ end {array} \ right. [/matemáticas]

y

[matemáticas] \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x \ left (\ tau \ right) \ delta \ left (t – \ tau \ right) \ mathrm {d} \ tau = x \ left (0 \ right) [/ math] para todas las funciones [math] x \ left (t \ right) [/ math].

Estas funciones no satisfacen las condiciones de Dirichlet, no son absolutamente integrables, por lo que se deben utilizar fórmulas de integración más avanzadas para calcular la transformación de Fourier a partir de la definición. En los grados avanzados de matemática, se dedica un tiempo a desarrollar la teoría de la medida y diferentes métodos de integración para resolver este problema. La mayoría de los ingenieros están dispuestos a tomar la definición anterior por fe, pero tienen que conformarse con estas funciones solo teniendo transformadas de Fourier pero no transformadas de Laplace.

Answer 5

Las transformadas de Laplace y Fourier son transformaciones continuas (integrales) de funciones continuas.
La transformada de Laplace asigna una función f ( t ) a una función F ( s ) de la variable compleja s , donde s = σ + jω .
Dado que la derivada f ˙ ( t ) = df ( t ) dt se asigna a sF ( s ), la transformada de Laplace de una ecuación diferencial lineal es una ecuación algebraica. Por lo tanto, la transformación de Laplace es útil, entre otras cosas, para resolver ecuaciones diferenciales lineales.
Si establecemos la parte real de la variable compleja s en cero, σ = 0, el resultado es la transformada de Fourier F ( jω ), que es esencialmente la representación del dominio de frecuencia de f ( t ).
La transformación Z es esencialmente una versión discreta de la transformación de Laplace y, por lo tanto, puede ser útil para resolver ecuaciones de diferencia , la versión discreta de ecuaciones diferenciales . La transformación Z asigna una secuencia f [ n ] a una función continua F ( z ) de la variable compleja z = rej Ω.
Si establecemos la magnitud de z en la unidad, r = 1, el resultado es la Transformación de Fourier de tiempo discreto (DTFT) F ( j Ω), que es esencialmente la representación en el dominio de la frecuencia de f [ n ].
O simplemente :
Las transformadas de Fourier asignan una función a una nueva función en la línea real, mientras que Laplace asigna una función a una nueva función en el plano complejo. En general, la transformada de Laplace se usa cuando las funciones se definen en el medio espacio t ≥0, mientras que la transformada de Fourier es para funciones definidas en (-∞, ∞). Fourier como la transformación de Laplace se puede ver en el círculo, es decir | z | = 1.
Básicamente, la transformación de Laplace se usa para cambiar la función de transferencia del sistema del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia. En la transformada de Fourier obtenemos el espectro de frecuencia de la señal (es decir, las diversas frecuencias en la señal compuesta dada y su amplitud relativa

Answer 6

Al igual que la transformada de Fourier, la transformada de Laplace se usa para resolver ecuaciones diferenciales e integrales, pero mientras que la transformada de Fourier resuelve una función o señal en sus modos de vibración, la transformada de Laplace resuelve una función en sus momentos. [1]
[1] El momento de un conjunto / función describe otros aspectos de una distribución, como la forma en que la distribución se desvía de su media o alcanza su punto máximo.
El primer momento de la distribución de la variable aleatoria X es el operador de expectativa, es decir, la media de la población (si existe el primer momento). En órdenes superiores, los momentos centrales (momentos sobre la media) son más interesantes que los momentos sobre cero . El primer momento central es 0. El momento central cero, [math] \ mu_0 [/ math] es uno. El segundo momento central es la varianza.

Answer 7

Te agradezco que hayas preguntado esto. Soy estudiante de electrónica y comunicación, por lo que responderé esta pregunta en términos de señales.

La transformada de Laplace de una función es como la transformada de Fourier de la misma función, excepto por dos cosas. El término en el exponencial de una transformada de Laplace es un número complejo en lugar de solo un número imaginario y el límite inferior de integración no necesita comenzar en -∞. El factor exponencial tiene el efecto de obligar a las señales a converger. Es por eso que la transformada de Laplace se puede aplicar a una clase más amplia de señales que la transformada de Fourier, incluidas las señales de crecimiento exponencial.

En una transformada de Fourier , tanto la señal en el dominio del tiempo como su espectro en el dominio de la frecuencia son una función unidimensional y compleja. Sin embargo, la transformada de Laplace de la señal 1D es una función compleja definida sobre un plano complejo bidimensional, llamado plano s, atravesado por dos variables, una para el eje real horizontal y otra para el eje imaginario vertical. Si esta función 2D se evalúa a lo largo del eje imaginario, la transformación de Laplace simplemente se convierte en la transformación de Fourier.

Answer 8

La explicación más simple a esto probablemente puede ser que en la transformación de Fourier, no es posible analizar un sistema inestable (solo se pueden analizar sistemas estables).
Mientras que en Laplace Transform, porque tenemos un término adicional
(s = sigma + jw), que también permite el análisis de sistemas inestables.

Evidentemente, FT obtiene una gran base de aplicaciones en temas como la comunicación, mientras que LT obtiene una gran base de aplicaciones en temas como los sistemas de control.

Answer 9

Transformada de Fourier es un subconjunto de Laplace. A diferencia de Laplace Transform, siempre existe siempre que la señal sea integrable.
Otro punto importante a tener en cuenta, Fourier trata con la frecuencia imaginaria (coseno y frecuencias sinusoidales). En el caso de la Transformada de Laplace, ROC surge ya que incluye frecuencia real o frecuencias complejas (reales e imaginarias).

Answer 10

La Laplace y la Transformada de Fourier son transformaciones intergrales continuas de funciones (continuas).

La transformada de Laplace asigna una función f (t) a otra función F (s) de la variable compleja s , donde s = σ + jω. La derivada de f (t) = df (t) / dt mapea sF (s), la transformada de Laplace de una ecuación diferencial (lineal) es una ecuación algebraica. La transformada de Laplace es más útil para resolver ecuaciones diferenciales lineales.

La Transformada de Fourier es básicamente el dominio de la representación de frecuencia de la función f (t) . Si la parte real de la variable compleja s se establece en 0 (lo que hace que σ = 0), obtenemos la Transformada de Fourier. Por lo tanto, las transformadas de Fourier son útiles para representar una función que varía en el tiempo en el dominio de la frecuencia.

Answer 11

Una de las condiciones suficientes para la existencia de la serie de Fourier de la función periódica f (t) es que debe ser cuadrado integrable en un período T.

La expresión para la transformada de Fourier puede derivarse de la serie de Fourier con la condición de que el período T de la f (t) se haya convertido en infinito, es decir, que ahora sea una señal aperiódica. Aquí, en lugar de la integrabilidad al cuadrado, hablamos de la integrabilidad absoluta. Entonces, una de las condiciones suficientes para la existencia de la transformada de Fourier de f (t) es que debe ser absolutamente integrable.

Hay funciones que dicen unidad de paso, cuya transformación de Fourier en sentido convencional no existe, ya que no es absolutamente integrable. Para hacerlo absolutamente integrable, se multiplica con un factor e ^ (- σt) llamado factor de convergencia y luego su transformada de Fourier se toma multiplicando e ^ {- jωt} y luego integrando. Multiplicar e ^ (- σt) con e ^ {- jωt} nos da e ^ – {σ + jω) t, donde ahora tenemos una variable compleja de dos componentes (real e imaginario). Haciendo la sustitución de s = σ + jω, tenemos la transformada de Laplace. Entonces, en la transformación de Laplace, pasamos del eje jω imaginario a un plano complejo completo para incluir aquellas funciones que no son absolutamente integrables. Cuando σ = 0, la transformada de Laplace se reduce a la transformada de Fourier.

En la transformación de Fourier, no tenemos que especificar ningún valor de ω para su existencia porque si existe, entonces solo existe en el eje jω. Por otro lado, en la transformación de Laplace, no solo la transformación es importante, sino que también es importante la región en la que converge (la función es absolutamente integrable) dependiendo de σ. Entonces, la región de convergencia se especifica junto con la expresión de transformación. Si la región de convergencia incluye el eje jω, entonces existe la transformada de Fourier.

Answer 12

La notación varía, así que solo voy a elegir uno de los más comunes en esta respuesta. Los elementos esenciales de la situación son los mismos independientemente de la notación que le guste.

Entonces, la transformada de Fourier de una función [math] f: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {C} [/ math] viene dada por

[matemáticas] \ hat {f} (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (t) e ^ {- i \ omega t} \; dt [/ math]

En esta expresión, [math] \ omega [/ math] es una variable real, por lo que la cantidad [math] i \ omega [/ math] en el exponente es puramente imaginaria. Hay una cuestión de si la integral converge para la función dada [matemática] f [/ matemática], pero debe converger al menos en cierto sentido para que exista la transformación de Fourier de [matemática] f [/ matemática].

Ahora, la transformada de Laplace (de dos lados o bilateral) de [math] f [/ math] viene dada por

[matemáticas] F (s) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (t) e ^ {- st} \; dt [/ math]

Aquí, la variable [math] s [/ math] en el exponente es una variable compleja; es decir, se puede escribir como [math] s = \ sigma + i \ omega [/ math] donde [math] \ sigma [/ math] y [math] \ omega [/ math] son ​​variables reales (real e imaginaria partes de [matemáticas] s [/ matemáticas]). Aquí también surge la cuestión de la convergencia, y generalmente se llama al subconjunto del plano complejo que contiene todos los valores de [math] s [/ math] para el que la integral de transformada de Laplace de [math] f [/ math] converge su ” región de convergencia “.

Suponga que la región de convergencia de la transformada de Laplace de [math] f [/ math] contiene el eje imaginario en el plano complejo; es decir, el conjunto de [math] s = \ sigma + i \ omega [/ math] donde [math] \ sigma = 0 [/ math]. Entonces

[matemáticas] F (s) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (t) e ^ {- \ sigma ti \ omega t} \; dt = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty } f (t) e ^ {- i \ omega t} \; dt = \ hat {f} (\ omega) [/ math]

En otras palabras, si la transformada de Laplace [matemática] F (s) [/ matemática] se define en el eje imaginario, entonces la transformada de Fourier [matemática] \ hat {f} (\ omega) [/ matemática] es [matemática] F (\ sigma + i \ omega) | _ {\ sigma = 0} [/ math]; es decir, la restricción de la transformada de Laplace al eje imaginario.

Answer 13

La transformada de Fourier es una transformada de Laplace en la que el espacio en el que transforma una función de dominio de tiempo o espacio, [matemática] u (t) [/ matemática] o [matemática] u (x) [/ matemática], es estrictamente imaginario, es decir, algún múltiplo de [matemáticas] i [/ matemáticas]. En una transformación de Fourier, el resultado es una función, [matemática] \ tilde u [/ matemática], de una variable de frecuencia en tiempo o espacio, es decir, [matemática] \ omega [/ matemática] o [matemática] k [/ matemática] , respectivamente. Pero en el caso de una transformada de Laplace, esta variable de frecuencia solo imaginaria se convierte en una variable compleja general llamada [math] s \ in \ mathbb {C} [/ math]. La transformación de Laplace requiere que [math] s [/ math] tenga componentes que obedezcan ciertos límites para garantizar la convergencia de [math] \ tilde u (s) [/ math]. Límites similares son innecesarios para la transformación de Fourier porque las funciones básicas de Fourier, [matemáticas] e ^ {\ pm i \ omega t} [/ matemáticas] o [matemáticas] e ^ {\ pm ikx} [/ matemáticas], son mutuamente ortogonal sobre un dominio de integración que consiste en [math] \ omega [/ math] o [math] k [/ math] que se extiende sobre toda la línea real.

Answer 14

La transformación de Fourier es más exótica, ya que se ocupa solo de las frecuencias imaginarias y se usa ampliamente en el procesamiento de señales. Laplace es más realista con las frecuencias reales e imaginarias, se usa más en el sistema de control incluye el estudio de la naturaleza transitoria de los sistemas. Sin duda Fourier transform es un subconjunto de Laplace, pero ha superado al padre.

Answer 15

Ambos transforman una señal en el dominio de frecuencia, en el que una señal que varía rápidamente tendrá valores mucho más altos que una casi constante.

La transformación de Fourier solo se define para señales limitadas, mientras que Laplace define un parámetro adicional que permite hacer que la señal de entrada sea limitada.

Answer 16

La transformada de Laplace se obtiene a partir de la transformada de Fourier al incluir un exponente en descomposición en la transformación para converger la integral de las señales que no convergen en la transformada de Fourier. Ambas se utilizan para representar señales en el dominio de frecuencia, pero el análisis es diferente de varias maneras Y la transformada de Laplace se usa más en el análisis de sistemas de control y para transformar ecuaciones diferenciales en simples algebraicas en el dominio S para la facilidad de resolverlas.

Answer 17

La Transformada de Fourier de tiempo continuo se utiliza para mostrar el contenido de frecuencia de señales continuas absolutamente sumables. Sin embargo, Laplace es una transformación más general. Cuando transformamos nuestra señal usando exp (-st) donde s = sigma + j * omega, puede pensar que amortigua nuestra señal de explosión (no absolutamente sumable) usando exp (-sigma)) y luego toma su CTFT.
Lo mismo es el caso de las señales discretas. Aquí, DTFT y z-transform son análogos a CTFT y Laplace transform. Si nuestra señal no es sumable, la amortiguamos multiplicando con mag (z) = r ^ -n <1.

Answer 18

Una de las condiciones de dirchelets dice que cualquier señal debe ser absolutamente integrable. Lo que de hecho pone limitaciones para las señales no analíticas. Pero hemos estudiado en teoría compleja que al elegir un contorno que excluya el punto donde la señal no es analítica.

Entonces sir laplace hizo lo mismo al elegir la región (que es la región de convergencia) donde la señal es analítica, que a su vez es absolutamente integrable. Así que colocó un término sigma a través del cual se puede encontrar una condición para la cual la señal es absolutamente integrable.

En lugar de sustituir ‘w’ en el dominio de frecuencia, sustituyó sigma + jw ..

Lo que creó un plano llamado s-plane.

Y a menudo encontramos ROC comunes para una combinación lineal de señales.

Answer 19

La transformación de Fourier se define solo para funciones absolutamente integrables.
La transformación de Laplace es una generalización para incluir todas las funciones.