Cómo resolver este límite [matemáticas] \ lim_ {x \ to0} \ frac {\ sqrt {1-3 ^ {- x ^ 2}}} {x} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ text {Lema:} \ lim_ {x \ a 0} \ frac {e ^ x – 1} x = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ text {Prueba:} \ lim_ {x \ to 0} \ frac {e ^ x – 1} x = \ lim_ {x \ to 0} \ frac {[(1 + x) ^ {\ frac 1x}] ^ x – 1} x = \ lim_ {x \ a 0} \ frac {1 + x-1} x = 1 [/ math]

Entonces, para el límite real:

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align} \ lim_ {x \ to 0 ^ +} \ sqrt {\ frac {1-3 ^ {- x ^ 2}} {x ^ 2}} & = \ lim_ {x \ a 0 ^ +} \ sqrt {\ frac {1-e ^ {- x ^ 2 \ ln 3}} {x ^ 2}} \\ \; & = \ lim _ {- x ^ 2 \ ln 3 \ a 0 ^ -} \ sqrt {- \ ln 3 \ left (\ frac {1-e ^ {- x ^ 2 \ ln 3}} {- x ^ 2 \ ln 3} \ right)} \\ \; & = \ boxed {\ sqrt {\ ln 3}} \ end {align} \ tag * {} [/ math]

De manera similar, puedes demostrar que

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0 ^ -} – \ sqrt {\ frac {1-3 ^ {- x ^ 2}} {x ^ 2}} = \ boxed {- \ sqrt {\ ln 3 }} \ tag * {} [/ math]

lo que sugiere que el límite no existe realmente porque los límites no son los mismos cuando nos acercamos desde diferentes lados.

Evidencia gráfica:

¡No es necesario usar la regla de L’Hospital!

[matemáticas] \ lim_ {x \ a 0} \ dfrac {\ sqrt {1-3 ^ {- x ^ 2}}} {x} = \ lim_ {x \ a 0} \ sqrt {\ dfrac {1-e ^ {- x ^ 2 \ ln (3)}} {x ^ 2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ lim_ {x \ a 0} \ sqrt {\ dfrac {1- (1-x ^ 2 \ ln (3))} {x ^ 2}} = \ lim_ {x \ a 0} \ sqrt {\ ln (3)} = \ sqrt {\ ln (3)} [/ math]

Gracias por preguntar.

* A2A

[matemáticas] \ begin {align} L & = \ lim_ \ limits {x \ to0} \ dfrac {\ sqrt {1-3 ^ {- x ^ 2}}}} \ \ & = \ begin {cases} \ lim_ \ límites {x \ to0 ^ +} \ dfrac {\ sqrt {1-3 ^ {- x ^ 2}}} x = \ dfrac {\ sqrt {1-3 ^ {- 0.01}}} {0.1} & = + ve \\\ lim_ \ limits {x \ to0 ^ -} \ dfrac {\ sqrt {1-3 ^ {- x ^ 2}}} x = \ dfrac {\ sqrt {1-3 ^ {- 0.01}}} {-0.1} & = – ve \ end {cases} \\ L & = DNE \ end {align} \ tag * {} [/ math]


Teorema: dado que [matemáticas] \ lim_ \ límites {x \ a c} f (x) = L [/ matemáticas], y [matemáticas] \ lim_ \ límites {x \ a c} g (x) = M [/ matemáticas]

  1. [matemáticas] \ lim_ \ límites {x \ a c} f (x) g (x) = LM [/ matemáticas]
  2. [matemáticas] \ lim_ \ límites {x \ a c} \ dfrac {f (x)} {g (x)} = \ dfrac LM [/ matemáticas], donde [matemáticas] M \ neq 0 [/ matemáticas]

Prueba: 1

Suponga que se da un arbitrario [math] \ varepsilon> 0 [/ math]. Estamos obligados a encontrar un [math] \ delta> 0 [/ math] tal que [math] | f (x) g (x) -LM | <\ varepsilon \ Longleftarrow 0 <| xc | <\ delta [/ math ]

Debido a que el límite [math] \ lim_ \ limits {x \ to c} f (x) [/ math] existe, entonces debemos tener un [math] \ delta_1> 0 [/ math] y un [math] K> 0 [/ math] tal que [math] | f (x) | \ le K [/ math] para [math] 0 <| xc | <\ delta_1 [/ math]

[matemáticas] \ begin {align} | f (x) g (x) -LM | & = | f (x) g (x) -Mf (x) + Mf (x) -LM | \\ & \ le | f (x) g (x) -Mf (x) | + | Mf (x) -LM | \\ & \ le | f (x) || g (x) -M | + | M || f (x ) -L | \ end {align} \ tag {*} [/ math]

Debido a que existen [matemáticas] \ lim_ \ límites {x \ a c} f (x) [/ matemáticas] y [matemáticas] \ lim_ \ límites {x \ a c} g (x) [/ matemáticas] existe, hay una existencia posterior de [math] \ delta_2> 0, \ delta_3> 0 [/ math] tal que

[matemáticas] \ begin {align} | f (x) -L | <\ dfrac \ varepsilon {2K} & \ qquad \ Longleftarrow0 <| xc | <\ delta_2 \\ | g (x) -M | <\ dfrac \ varepsilon {2 | M | +1} & \ qquad \ Longleftarrow0 <| xc | <\ delta_3 \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Usando estos resultados en [math] (*) [/ math], y eligiendo [math] \ delta = \ min (\ delta_1, \ delta_2, \ delta_3) [/ math] tenemos

[matemáticas] \ begin {align} | f (x) g (x) -LM | & = | f (x) g (x) -Mf (x) + Mf (x) -LM | \\ & \ le | f (x) g (x) -Mf (x) | + | Mf (x) -LM | \\ & \ le | f (x) || g (x) -M | + | M || f (x ) -L | \\ & <\ dfrac \ varepsilon {2K} \ cdot K + | M | \ cdot \ dfrac \ varepsilon {2 | M | +1} \\ & <\ dfrac \ varepsilon2 + | M | \ cdot \ dfrac \ varepsilon {2 | M |} \\ & <\ dfrac \ varepsilon2 + \ dfrac \ varepsilon2 \\ & <\ varepsilon \ end {align} \ tag {*} [/ math]


Prueba: 2

Suponga que se da un arbitrario [math] \ varepsilon> 0 [/ math]. Estamos obligados a encontrar un [math] \ delta> 0 [/ math] tal que [math] \ left | \ dfrac {f (x)} {g (x)} – \ dfrac LM \ right | <\ varepsilon \ Longleftarrow 0 <| xc | <\ delta [/ math]

[matemáticas] \ begin {align} \ left | \ dfrac {f (x)} {g (x)} – \ dfrac LM \ right | & = \ left | \ dfrac {Mf (x) -Lg (x)} {Mg (x)} \ right | \\ & = \ left | \ dfrac {Mf (x) -Lg (x) + f (x) g (x) -f (x) g (x)} {Mg ( x)} \ right | \\ & = \ left | \ dfrac {f (x) (Mg (x)) + g (x) (f (x) -L)} {Mg (x)} \ right | \ \ & \ le \ dfrac {| f (x) |} {| Mg (x) |} | g (x) -M | + \ dfrac {| f (x) -L |} {| M |} \ end {alinear} \ etiqueta {*} [/ matemáticas]

Dado que [matemáticas] \ lim_ \ límites {x \ a c} f (x) [/ matemáticas] y [matemáticas] \ lim_ \ límites {x \ a c} g (x) [/ matemáticas] existe, entonces existe un [matemática] \ delta_1> 0 [/ matemática] y una [matemática] M> 0 [/ matemática] tal que

[matemáticas] | g (x) | \ le M, | f (x) | \ le M ^ 2 \ quad \ Longleftarrow 0 <| xc | <\ delta_1 \ tag * {} [/ matemática]

Existe un [math] \ delta_2> 0 [/ math] tal que

[matemáticas] | g (x) -M | <\ dfrac \ varepsilon2 \ Longleftarrow0 <| xc | <\ delta_2 \ tag * {} [/ matemáticas]

Existe un [math] \ delta_3> 0 [/ math] tal que

[matemáticas] | f (x) -L | <\ dfrac {M \ varepsilon} 2 \ Longleftarrow0 <| xc | <\ delta_3 \ tag * {} [/ matemáticas]

Elegir [math] \ delta = \ min (\ delta_1, \ delta_2, \ delta_3) [/ math] y sustituir estos resultados en [math] (*) [/ math]

[matemáticas] \ begin {align} \ left | \ dfrac {f (x)} {g (x)} – \ dfrac LM \ right | & \ le \ dfrac {| f (x) |} {| Mg (x ) |} | g (x) -M | + \ dfrac {| f (x) -L |} {| M |} \\ & <\ dfrac {M ^ 2} {M \ cdot M} \ cdot \ dfrac \ varepsilon2 + \ dfrac {M \ varepsilon} {2M} \\ & <\ dfrac \ varepsilon2 + \ dfrac \ varepsilon2 \\ & <\ varepsilon \ end {align} \ tag * {} [/ math]


Demuestre que [matemáticas] \ lim_ \ límites {x \ to0} \ sqrt {1–3 ^ {- x ^ 2}} = 0 [/ matemáticas]

Prueba: Esto es equivalente a mostrar que [matemáticas] \ lim_ \ límites {x \ to0} (1–3 ^ {- x ^ 2}) = 0 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Suponga que se da un arbitrario [math] \ varepsilon> 0 [/ math]. Estamos obligados a encontrar un [math] \ delta> 0 [/ math] tal que [math] | 1–3 ^ {- x ^ 2} | <\ varepsilon \ quad \ Longleftarrow | x | <\ delta \ tag * {}[/matemáticas]

[matemáticas] \ begin {align} | 1-3 ^ {- x ^ 2} | <\ varepsilon & \ quad \ Longleftarrow0 <| x | <\ delta \\ - \ varepsilon <1-3 ^ {- x ^ 2} <\ varepsilon & \ quad \ Longleftarrow0 <| x | <\ delta \\ - 1- \ varepsilon <-3 ^ {- x ^ 2} <\ varepsilon-1 & \ quad \ Longleftarrow0 <| x | <\ delta \\ 1 + \ varepsilon> 3 ^ {- x ^ 2}> 1- \ varepsilon & \ quad \ Longleftarrow0 <| x | <\ delta \\\ dfrac1 {1+ \ varepsilon} <3 ^ {x ^ 2} <\ dfrac1 { 1- \ varepsilon} & \ quad \ Longleftarrow0 <| x | <\ delta \\\ dfrac1 {(1+ \ varepsilon) \ ln3}

Elegir [matemáticas] \ delta = \ min \ left (\ dfrac1 {\ sqrt {(1+ \ varepsilon) \ ln3}}, \ dfrac1 {\ sqrt {(1- \ varepsilon) \ ln3}} \ right) \ tag *{}[/matemáticas]

Completa la prueba.


Demuestre que [matemáticas] \ lim_ \ límites {x \ a 0} x = 0 [/ matemáticas]

Prueba:

Deje [math] \ varepsilon> 0 [/ math] dado. Estamos obligados a encontrar una [matemática] \ delta> 0 [/ matemática] tal que [matemática] | x | <\ varepsilon [/ matemática] siempre que [matemática] | x | <\ delta [/ matemática]

[matemáticas] | x | <\ varepsilon \ quad \ Longleftarrow | x | <\ delta \ tag * {} [/ matemáticas]

Al elegir [math] \ delta = \ varepsilon [/ math] se completa la prueba.


Probar que [math] \ lim_ \ limits {x \ to 0} \ dfrac1x [/ math] no existe.

Prueba:

Suponga que el límite existe y es igual a [math] L [/ math]. Estamos obligados a demostrar que [matemáticas] L [/ matemáticas] no es un límite. Configuramos [math] L = \ dfrac {\ varepsilon} 2 [/ math], donde [math] \ varepsilon> 0 [/ math] y [math] L \ in \ R [/ math]

Además, para una [matemática] \ delta> 0 [/ matemática] dada, seleccionemos [matemática] x = \ min \ left (\ dfrac \ delta2, \ dfrac1 {2L} \ right) [/ math]. Esto implica que [matemáticas] x> 0 [/ matemáticas]

Y tenemos [math] | x | \ le \ dfrac \ delta2 <\ delta \ tag * {} [/ math]

entonces [math] x [/ math] está en el vecindario delta de [math] 0 [/ math]

Además, tenemos [math] x \ le \ dfrac1 {2L} \ implica \ dfrac1x \ ge2L \ tag * {} [/ math]

Y finalmente, tenemos

[matemáticas] \ begin {align} | f (x) -L | & = \ left | \ dfrac1x-L \ right | \\ & = \ left | \ left | \ dfrac1x \ right | -L \ right | \\ & \ ge \ left | \ dfrac1x \ right | -L \\ &> 2L-L \\ &> L \\ | f (x) -L | &> 2 \ varepsilon> \ varepsilon \ end {align} \ tag *{}[/matemáticas]

Por lo tanto, el límite no existe.


Combinando los resultados encontrados hasta ahora y usando los Teoremas de Límite para el producto y el cociente, el límite

[matemáticas] \ lim_ \ límites {x \ to0} \ dfrac {\ sqrt {1–3 ^ {- x ^ 2}}}} = DNE \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Es límite en forma 0/0, así que lo adivinaste …

Pon el denominador debajo de la raíz cuadrada. Luego se convierte en x ^ 2. Luego ponga x ^ 2 = u y encuentre el límite de la expresión debajo de la raíz usando la regla de L’Hopital o de otra manera.