Si solo pudiera aprender uno, ¿es mejor tomar un curso de estudio independiente en álgebra abstracta o topología?

Answer 1

Debes estudiar lo que es más interesante para ti.

Más prácticamente, creo que esto depende del nivel del que estés hablando. Si no tiene experiencia en álgebra abstracta o topología, y está considerando estudiar cada uno en el nivel básico de pregrado, entonces el álgebra abstracta probablemente será más satisfactorio. La mayoría de lo que es interesante en topología requiere al menos un mínimo de álgebra abstracta para comprender. E incluso las partes que puedes entender sin álgebra abstracta se sentirán un poco subestructuradas sin el álgebra. (Mucho de lo que siento cuando estudio cualquier análisis, pero ese es mi problema).

Si elige estudiar topología sin el álgebra, difícilmente puede hacerlo mejor que tratar de comprender los capítulos 1–3 del libro de Guillemin y Pollack sobre topología diferencial. El cuarto capítulo requiere un poco de álgebra abstracta. Este libro fue mi primera introducción “real” a la topología, ¡y me encantó! Estudiar la topología diferencial antes de la topología algebraica te da una idea adicional de cosas como “¿por qué la teoría de intersección es tan difícil?” Y “¿por qué trabajar con coeficientes en la característica 2 a veces funciona mejor que la característica 0?” topología algebraica.

También podría estudiar la teoría del nudo clásico (“clásico”, para mí, significa “homología de enlace anterior”; en este caso, también ignorará el grupo de nudos) a una profundidad razonable mientras evita el álgebra abstracta.

Al final del día, es bastante difícil estudiar incluso temas modestamente avanzados en matemáticas modernas sin una sólida comprensión del álgebra abstracta de pregrado.

Si, por otro lado, tiene una sólida formación de pregrado en ambos y está considerando un estudio independiente avanzado de pregrado o posgrado, entonces sus opciones son mucho más amplias. Probablemente ni siquiera estudies “álgebra abstracta” o “topología”; en su lugar, elegirá un subconjunto como la teoría de Galois, la teoría de la representación, la teoría de Morse, la teoría de la homotopía, la topología de baja dimensión, etc.

¡Sigue tus intereses! ¡Aprende todas las matemáticas!

Answer 2

La topología es mucho más fácil de entender intuitivamente. Si te gustan las clases de geometría, te sugiero comenzar con eso. Si te gustó el álgebra de la escuela secundaria y el cálculo / estadísticas, el álgebra abstracta podría ser tu mejor opción.