Si 17 ^ 17-n es divisible por 7, ¿cuál es n?

Para que [math] (17) ^ {17} – n [/ math] sea divisible por 7,

[matemáticas] R [\ dfrac {(17) ^ {17} – n} {7}] = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] O, R [\ dfrac {(17) ^ {17}} {7}] – R [\ dfrac {n} {7}] = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] O, R [\ dfrac {(14 + 3) ^ {17}} {7}] – n = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] O, R [\ dfrac {(3) ^ {17}} {7}] – n = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] O, R [\ dfrac {(3 ^ 6) ^ 2 \ veces (3 ^ 5)} {7}] – n = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] O, (R [\ dfrac {(3 ^ 6) ^ 2} {7}] \ veces R [\ dfrac {3 ^ 5} {7}]) – n = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] O, (1 \ veces 5) – n = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] O, n = 5 [/ matemáticas] ( Respuesta )

Nota : También ‘n’ podría ser cualquier número que dé el resto 5 cuando se divide por 7 .

  • Entonces, n = 7k + 5

Notas al pie :

  1. EL PEQUEÑO TEOREMA DE FERMAT por Sarthak Dash en RESTANTES
  2. TEOREMA BÁSICO DEL RESTANTE por Sarthak Dash en RESTANTES

para responder esta pregunta Deberíamos recibir el recordatorio de 17 ^ 17 cuando es divisible por 7. si restas eso de 17 ^ 17, entonces será divisible por 7.

Ahora, ¿cuál es el recordatorio de 17 ^ 17

Simplemente consulte este enlace para obtener un recordatorio

17 ^ 17 = 17 * 17 * 17 …… .17 veces% 7 = 17 veces el resto de 17 con 7 así

3 ** 3 * 3 *… .17 veces = 3 ^ 17 = 3 ^ 15 * 3 ^ 2 = (3 ^ 3) ^ 5 * 9 = 27 ^ 5 * 9 ahora el recordatorio de esto es (27% 7 = -1 y 9% 7 = 2)

-1 * -1 * -1 * -1 * -1 * 2 = -2 que significa 5 (7–2)

Entonces la respuesta es 5.

Si quiere decir divisible por 7 de modo que la respuesta sea un número entero, entonces n puede ser cualquiera de un número infinito de valores, todos los cuales son casi con toda seguridad números irracionales. Si la respuesta es “1”, n = .040401229 …; si la respuesta es 2, n = .0547924 …; y así hasta el infinito.

n = ln del número entero de respuestas multiplicado por 7 dividido por 17 (ln17).

Para la respuesta entera igual a dos:

[matemáticas] \ frac {ln (2 * 7)} {17 * ln (17)} = .0547924… [/ matemáticas]

Entonces, [matemáticas] \ frac {17 ^ {17 * .0547924…}} {7} = 2 [/ matemáticas]

Puede realizar este cálculo para cada número de recuento hasta el infinito.

Por inspección, n no puede ser negativo y ser divisible por 7.

n no puede ser cero, porque [matemática] 17 ^ 0 = 1 [/ matemática], que no es divisible por 7.

Usando el lenguaje de programación J;

Supongo que la prioridad algebraica es así: ((17 ^ 17) -n) mod 7

Pruebe n = los primeros 100 enteros (comenzando con 0) y enumere los n que no tienen resto cuando se divide por 7

a # ~ 0 = 7 | (17 ^ 17x) -a = .i.100

5 12 19 26 33 40 47 54 61 68 75 82 89 96

Entonces la respuesta es cada séptimo entero positivo, comenzando con 5.

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Cada entero que tiene la forma [matemáticas] 3n + 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] 5n + 2 [/ matemáticas] también tiene la forma [matemáticas] 15n + 7 [/ matemáticas]. ¿Podemos generalizar esto para cualquier número entero que tenga la forma [math] pn + \ frac {p-1} {2} [/ math] y [math] qn + \ frac {q-1} {2} [/ math] para primos [matemáticas] p, q [/ matemáticas]?

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