Si (200! / 100!) Se divide por 2 ^ n, ¿cuál es el valor máximo de n?

Creo que mi respuesta es un poco larga 🙁

como, su pregunta es 200x199x198x …… ..x101 es divisible por 2 ^ n entonces el valor máximo de o cuál es el número total de 2 en la expansión:

En primer lugar, vemos que solo hay 50 números en los que hay un factor dos, ya que son pares.

  1. A partir de los factores más altos posibles 128 = 2 ^ 7
  2. entonces 64 como 128 ya tomados nos queda 192 = 3x 2 ^ 6, solo cuenta el número de dos
  3. entonces 32, múltiplo de 32 entre 100 y 200 son 128,160,192 como 128 y 192 ya tomados, así que queda con 160 = 5 × 2 ^ 5
  4. ahora viene 16 múltiples (excluidos comunes) – 112,144,176 = 2 ^ 4 tres veces = 2 ^ 12.
  5. Ahora, 8 múltiplos comunes excluidos: – 104,120,136,152,168“ 184,200. obtenemos siete veces 2 ^ 3 = 2 ^ 21.
  6. ahora, 4 múltiplos comunes excluidos, 108,116,124,132,140,148,156,164,172,180,188,196. = 12 veces 2 ^ 2 = 2 ^ 24
  7. ahora tenemos números que solo tienen 2, ya que es un factor que cuenta, restamos un total de 50 números pares por números que tomamos en los pasos anteriores, hay 25 números (puede contar)
  8. ahora, 25 veces 2 = 2 ^ 25
  9. ahora combinando todos obtenemos el número total 2 en expresión – 2 ^ (25 + 24 + 21 + 12 + 5 + 6 + 7) = 2 ^ 100 obtuvimos n = 100.

por favor sugiérame cualquier pequeña manera si encontró, ¡también lo intentaré!

Gracias ^ _ ^

Editar: -1) –

puede obtener poca ayuda de esto: -¿Cómo encuentro una forma cerrada para esto en términos de [matemáticas] n [/ matemáticas]: [matemáticas] \ displaystyle \ prod_ {k = 1} ^ {n} (2k – 1 ) [/matemáticas] ?

espero que ayude ^ _ ^

Tenemos que encontrar el mayor poder de 2 que divide [math] \ dfrac {200!} {100!} [/ Math]. Con el fin de determinar la potencia más alta de un primer [math] p [/ math] contenido en [math] n! [/ Math] tenemos una fórmula útil. Si denotamos [math] E_p [n!] [/ Math] por el exponente de un primo [math] p [/ math] en [math] n! [/ Math] entonces tenemos:

[matemáticas] E_p [n!] = \ lfloor {\ dfrac {n} {p} \ rfloor} + \ lfloor {\ dfrac {n} {p ^ 2} \ rfloor} + \ lfloor {\ dfrac {n} { p ^ 3} \ rfloor} + \ cdots [/ math]

Como tenemos [matemáticas] n = 200, p = 2 [/ matemáticas] en primer lugar,

[matemáticas] E_2 [200!] = \ lfloor {\ dfrac {200} {2} \ rfloor} + \ lfloor {\ dfrac {200} {2 ^ 2} \ rfloor} + \ lfloor {\ dfrac {200} { 2 ^ 3} \ rfloor} + \ cdots = 100 + 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 197 [/ matemáticas]

Similar,

[matemáticas] E_2 [100!] = 97 [/ matemáticas]

Ahora podemos concluir que si [matemática] 100! = 2 ^ {97} \ veces p [/ math] para algunos [math] p \ in \ mathbb {N} [/ math] luego [math] 200! = 2 ^ {197} \ veces p \ veces q [/ matemáticas]. El poder más alto de [matemática] n [/ matemática] tal que [matemática] 2 ^ n \ mid \ dfrac {200!} {100!} [/ Matemática] es [matemática] n = 100 [/ matemática].

¡Eso es!

[matemáticas] (200! / 100!) [/ ​​matemáticas] es divisible por [matemáticas] 2 ^ n [/ matemáticas]

Lo que significa 101 x 102 x 103 x ……… x 200

Encontrar n

Primero necesitamos encontrar 200> = valor integral más grande de [math] 2 ^ m [/ math]

Lo que da [matemática] m = 7 [/ matemática] y el mayor valor integral de [matemática] 2 ^ m [/ matemática] como 128

También sabemos que

Número divisible por 128 es un subconjunto de número divisible por 64 que es un subconjunto de número divisible por 32 que es un subconjunto de número divisible por 16 que es un subconjunto de número divisible por 8 que es un subconjunto de número divisible por 4 que es Un subconjunto de número divisible por 2.

Rango de comprobación de 101 a 200

Número de factores divisibles por 2: 50

Número de factores divisibles por 4: 25

Número de factores divisibles por 8: 13

Número de factores divisibles por 16: 6

Número de factores divisibles por 32: 3

Número de factores divisibles por 64: 2

Número de factores divisibles por 128: 1

Agregando los valores anteriores obtenemos n

[matemáticas] n = 50 + 25 + 13 + 6 + 3 + 2 + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] n = 100 [/ matemáticas]

Por eso podemos decir

[matemáticas] (200! / 100!) [/ ​​matemáticas] es divisible por [matemáticas] 2 ^ 100 [/ matemáticas]

¡Okay!

Esto se puede hacer de una manera simple …

Primero toma 200

Luego divídalo entre 2 y luego saque la parte entera y guárdela.

Luego divide entre 2 ^ 2 y haz lo mismo …

Cuente el proceso hasta que la parte entera se convierta en 0.

Luego agregue todas las partes enteras que se mantienen aparte.

Del mismo modo hacer por 100.

(100/2 luego 100/2 ^ 2 …….) Y encuentre la suma de los números enteros guardados para 100.

Luego, un simple paso restar.

Ahora el número que te queda es la respuesta.

Matemáticas

¡el valor máximo de ‘n’ es simplemente la diferencia entre las potencias máximas de [math] 2 [/ math] que pueden dividir 200! y 100!

¡Potencia máxima de 2 que divide 200! :

[matemáticas] piso \ izquierda (\ frac {200} {128} \ derecha) + piso \ izquierda (\ frac {200} {64} \ derecha) + piso \ izquierda (\ frac {200} {32} \ derecha) +… + Piso \ izquierda (\ frac {200} {2} \ derecha) [/ matemática]

[matemáticas] = 197 [/ matemáticas]

Y por 100! :

[matemáticas] piso \ izquierda (\ frac {100} {64} \ derecha) + piso \ izquierda (\ frac {100} {32} \ derecha) +… + piso \ izquierda (\ frac {100} {2} \ derecha) [/ matemáticas]

[matemáticas] = 97 [/ matemáticas]

Por lo tanto, la potencia máxima de [math] 2 [/ math] que divide [math] \ frac {200!} {100!} [/ Math] es simplemente:

[matemáticas] 197-97 = 100 [/ matemáticas]

A2A

100

200! contiene 2 ^ 197 y 100! contiene 2 ^ 97.

Por lo tanto, 200! / 100! contendrá 2 ^ 100.

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