¿Están todos [matemática] 2 ^ n [/ matemática] indicada por [matemática] 6m + 2 [/ matemática] o [matemática] 6l + 4 [/ matemática] mientras que [matemática] l, n, m [/ matemática] son ​​enteros ?

Answer 1

Sí.

No solo [matemática] 2 ^ n [/ matemática], sino que todos los enteros positivos son de la forma [matemática] 6m, 6m + 2 [/ matemática] y [matemática] 6m + 4 [/ matemática].

Según el Lema de la División de Euclides [1] si tenemos dos enteros positivos [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática], entonces existen enteros únicos [matemática] m [/ matemática] y [matemática] r [/ matemática] que satisfacen la condición [matemática] a = bm + r [/ matemática] donde [matemática] 0 ≤ r ≤ b [/ matemática].

Si ponemos [matemáticas] b = 6 [/ matemáticas], entonces obtenemos la ecuación como [matemáticas] a = 6m + r [/ matemáticas]

Podemos ver claramente que para [matemáticas] r = 0, r = 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] r = 4 [/ matemáticas], el número entero [matemáticas] a [/ matemáticas] es par . Y para otros valores de [math] r [/ math] es decir [math] (1,3,5), [/ math] el entero [math] a [/ math] es impar .

Por lo tanto, cada entero par positivo se puede representar como , [matemática] 6m, 6m + 2 [/ matemática] o [matemática] 6m + 4 [/ matemática], donde [matemática] m [/ matemática] es un entero .

Claramente, [matemática] 2 ^ n [/ matemática] no puede tener forma [matemática] 6m [/ matemática] ya que [matemática] 6m [/ matemática] tiene un factor de [matemática] 3 [/ matemática] que no es posible para [matemáticas] 2 ^ n [/ matemáticas].

Además, [matemáticas] 2 ^ n [/ matemáticas] es siempre par. Entonces, [matemática] 2 ^ n [/ matemática] se puede representar como [matemática] 6m + 2 [/ matemática] o [matemática] 6m + 4 [/ matemática] donde [matemática] m [/ matemática] es un número entero.

Saludos 🙂

Notas al pie

[1] Lema de la división de Euclides: una introducción – Las matemáticas de Byju

Answer 2

Es cierto para todos [math] n \ ge 1 [/ math] ([math] 2 ^ 0 = 1 [/ math] que no es de esa forma). Podemos demostrar esto con inducción.

Es cierto cuando [matemáticas] n = 1 [/ matemáticas] ya que [matemáticas] 2 ^ 1 = 6 (0) + 2 [/ matemáticas]

let [matemáticas] 2 ^ k = 6m + 2 [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] 2 ^ {k + 1} = 2 (2 ^ k) = 2 (6m + 2) = 6 (2m) + 4 [/ matemáticas]

Y si [matemáticas] 2 ^ k = 6l + 4 [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] 2 ^ {k + 1} = 2 (6l + 4) = 6 (2l) + 8 = 6 (2l) + 6 + 2 = 6 (2l + 1) + 2 [/ matemáticas]

En ambos casos, obtenemos una de las dos formas.

Answer 3

Sí, pero no porque 6m + 2 o 4 es algo especial.

Todos los 2 ^ n son números pares, donde los únicos factores son todas las potencias de 2. Esto significa que no puede haber otro número primo allí.

Todos los números pares están en forma de 2c, donde c es un número entero. Otra forma de escribir sería 2 (a + b), donde a puede ser cualquier número entero con cualquier calidad arbitraria que queramos, y b es el número entero ca.

Decidamos que a es un múltiplo de 3. Eso significa que a puede expresarse en la forma 3d donde d es un número entero.

Eso significa que todos los números pares se pueden expresar como 2 (3d + b) o, a su vez, 6d + 2b. Este número es divisible por 3 si b es divisible por 3.

Sin embargo, no 2 ^ n es divisible entre 3, lo que significa que b debe ser no divisible: 1 y 2 no son divisibles, lo que te deja con la forma 6d + 2 (1 o 2), o 6d + (2 o 4).

Answer 4

Sí.

Sabemos que todos los números de la forma 2 ^ n son solo divisibles por 2; es decir, 3 no estarán entre los divisores. Y, por lo tanto, cuando un número de la forma 2 ^ n se divide por 6, el resto será positivo. Además, 2 ^ n números son todos pares. Por lo tanto, el resto también debería ser parejo. Esto nos deja las posibilidades que tenemos y, de hecho, estas son las únicas, como vemos en 8 = 6 * 1 + 2 y 16 = 6 * 2 + 4.

Answer 5

Sí, porque las potencias de 2 son pares y no son divisibles por 3.