El centro de un triángulo (un triángulo equilátero, en este caso) se llama centroide de triángulo y la longitud requerida o el radio R se pueden conocer utilizando el siguiente método.
Encontrar el radio, R, del círculo circunscriptor es equivalente a encontrar la distancia desde el centroide del triángulo a uno de los vértices. Encontrar el radio, r , del círculo inscrito es equivalente a encontrar la distancia desde el centroide al punto medio de uno de los lados.
Si cada vértice está conectado al punto medio del lado opuesto por una línea recta, entonces las líneas se cruzan en el centroide del triángulo.
De la figura que se muestra a continuación , R es la distancia desde el centroide a un vértice yr es la distancia desde el centroide al punto medio de un lado.
Tenemos las siguientes relaciones:
De la tabla de funciones trigonométricas de ángulos comunes, tenemos
Por lo tanto tenemos
=
y entonces
r =
donde a es la longitud de un lado yr es el radio del círculo inscrito.
Para R tenemos
=
y entonces
R =
donde a es la longitud de un lado y R es el radio del círculo circunscriptor.
Para encontrar un en términos de R , simplemente cambiamos la ecuación de esta manera:
entonces
Pero
entonces tenemos
Entonces finalmente tenemos un en términos de R como
donde a es la longitud de un lado y R es el radio del círculo circunscriptor.
Para encontrar r en términos de R, recuerde que de la ecuación tenemos
Sustituir el valor de un recién encontrado en esta ecuación nos da
Y entonces tenemos
donde r es el radio del círculo inscrito y R es el radio del círculo circunscrito.
Espero eso ayude…