Hay varias formas de hacerlo. Algunos son más útiles que otros.
Una forma es la integral de Riemann / Darboux si dividimos nuestro dominio en pedazos y resumimos los valores que elegimos. Luego tomamos un límite de estas sumas a medida que nuestra partición se vuelve más fina.
Una suma superior de Riemann / Darboux se calcula sumando los valores máximos. Del mismo modo, una suma menor utiliza el mínimo.
[matemáticas] U_ {P, f, N} = \ sum_ {j = 1} ^ {N} \ max_ {x \ en P_j} f (x) [/ matemáticas]
[matemáticas] L_ {P, f, N} = \ sum_ {j = 1} ^ {N} \ min_ {x \ en P_j} f (x) [/ matemáticas]
Una función es integrable de Riemann si cuando tomamos el límite estos convergen al mismo valor. Según el teorema de compresión, la integral es el límite común.
[matemáticas] L_ {P, f, N} \ le \ int_a ^ bf (x) dx \ le U_ {P, f, N} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ lim_ {N \ rightarrow \ infty} L_ {P, f, N} = \ lim_ {N \ rightarrow \ infty} U_ {P, f, N} = I \ Rightarrow \ int_a ^ bf (x) = Yo [/ matemáticas]
Queremos que esto sea cierto para cualquier colección de familias de particiones. También podemos usar las sumas izquierda y derecha en lugar de las sumas superior e inferior, pero resulta ser equivalente y las desigualdades no son tan buenas.
Riemann y otros matemáticos de su época sabían que había deficiencias en esta definición.
Otra forma de definir la integral es la integral de Lebesgue. Este es mucho más poderoso y general que la integral de Riemann. Sin embargo, viene con más maquinaria, que es la teoría de la medida.
Aquí, en lugar de particionar el dominio, estamos particionando efectivamente el codominio / rango. Resumimos las áreas de los conjuntos que obtenemos de la preimagen de la función, y luego tomamos un límite a medida que hacemos que el codominio sea más fino.
Probablemente la forma más fácil de ver esto es mediante la construcción de funciones características a funciones simples, a funciones integrables.
Una función característica (o indicador) es aquella que es una en un conjunto, y cero en caso contrario. Por ejemplo [matemática] \ chi _ {[1,2]} [/ matemática] es la función que es una en el intervalo [matemática] [1,2] [/ matemáticas].
La integral de Lebesgue de una función característica es simplemente la medida del conjunto.
[matemáticas] \ int \ chi_S d \ lambda = \ lambda (S) [/ matemáticas]
Una función simple es una combinación lineal de funciones características. Esto incluye todas las funciones constantes por partes, también conocidas como funciones de paso. Las integrales son lineales, por lo que la integral de una función simple es una suma de las medidas de los conjuntos de características multiplicadas por su altura.
[matemáticas] \ int \ sum_ {j = 1} ^ {N} \ alpha_j \ chi_ {S_j} d \ lambda = \ sum_ {j = 1} ^ {N} \ alpha_j \ lambda (S_j) [/ math]
Una función integrable de Lebesgue es aquella que es el límite de una secuencia de funciones simples.
[math] \ int fd \ lambda = \ lim_j \ int f_j d \ lambda [/ math] con [math] f_j [/ math] funciones simples y [math] f_j \ rightarrow f [/ math].
Hay ciertas funciones que no son integrables de Riemann pero son integrables de Lebesgue. Un ejemplo es [matemática] \ chi _ {\ Q \ cap [0,1]} [/ matemática] la función que es una en los racionales en [matemática] [0,1] [/ matemática] y cero en los irracionales. Resulta que la suma inferior de Riemann es siempre cero, y la suma superior es siempre uno. Estos no convergen entre sí. Sin embargo, la integral de Lebesgue es fácil, es [matemática] \ lambda (\ Q \ cap [0,1]) = 0 [/ matemática].
También hay funciones que no son integrables de Riemann o Lebesgue, pero tienen integrales impropias. Es decir, toma otro límite a medida que rellena cuidadosamente los vacíos en torno a los puntos problemáticos.
Hay otras formas de construir la integral, cada una con sus ventajas. Cada uno de ellos tiene un argumento limitante en algún momento.
