Entonces, lo que realmente preguntamos es esto:
¿Qué es [math] \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} (- | a |) ^ n [/ math]
Intuitivamente, todos deberíamos decir que el límite no existe, ya que estamos yendo y viniendo de positivo a negativo cada vez más grande, pero vamos un poco más profundo.
Solo saltamos hacia adelante y hacia atrás en la recta numérica real para valores enteros de n. Como [math] n \ rightarrow \ infty [/ math], cubrimos muchos números en la línea continua de números reales que no son enteros, lo que rápidamente se vuelve problemático, ya que algunos números negativos aumentan a algunas potencias (más de la mitad) don No se encuentra en la recta numérica real, sino en el plano complejo.
Por ejemplo:
[Matemáticas] (- 2) ^ {1.268} = (-2) ^ {\ frac {317} {250}} = \ sqrt [250] {- 2 ^ {317}} = \ sqrt [250] {- 266998379490113760299377713271194014325338065294581596243380200977777465722586687577 } \ aprox 2.4080816 + 0.0302625i [/ matemática]
Pero el problema con la simplificación de exponentes racionales es que muestra solo una solución, cuando en realidad hay 250 soluciones complejas diferentes. Cuando hacemos esa operación, convirtiéndola en un radical, etc. Encontramos [matemáticas] 2 ^ {317/250} e ^ {\ frac {i \ pi} {250}} [/ matemáticas].
Eso realmente no importa cuando hablamos de límites reales, pero creo que es genial.
Sin embargo, lo que creo que debería ser evidente es que a medida que n se hace más grande, [matemática] (- | a |) ^ n [/ matemática] se aleja más del origen de ninguna manera particularmente significativa en este contexto, por lo que podemos bastante declare con confianza que para [math] | a |> 1 [/ math], el límite no existe.
Sin embargo, para [math] | a | <1 [/ math], las cosas funcionan de manera un poco diferente. Cuando elevamos cualquier número, positivo o negativo, a una potencia mayor que uno, se vuelve más pequeño, y cuanto mayor es la potencia, menor es el resultado. Podemos decir, entonces, que para [matemáticas] | a | <1 [/ matemáticas], esto es cierto:
[matemáticas] \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} a ^ n = 0 [/ matemáticas]
Eso es más o menos todo lo que puedo decir.