Es irracional Prof: Suponga que [math] \ sqrt {3} [/ math] era racional, más específicamente, que sería igual a [math] \ frac {a} {b} [/ math] con [math] a [/ math ] y [matemática] b [/ matemática] relativamente primo (si no lo son, divida ambos por su divisor común más bajo). Entonces [math] \ frac {a} {b} = \ sqrt {3} [/ math], entonces [math] \ frac {a ^ 2} {b ^ 2} = 3 [/ math], o [math] a ^ 2 = 3b ^ 2 [/ matemáticas]. Como [math] a ^ 2 [/ math] es divisible por 3 y 3 es primo, [math] a [/ math] también debe ser divisible por 3. Entonces hay una [matemática] c [/ matemática] tal que [matemática] a = 3c [/ matemática]. Ahora tenemos [matemáticas] 3b ^ 2 = (3c) ^ 2 = 9c ^ 2 [/ matemáticas], entonces [matemáticas] b ^ 2 = 3c ^ 2 [/ matemáticas]. Por el mismo razonamiento que antes, vemos que [matemáticas] b [/ matemáticas] es divisible por 3. Pero eso lleva a una contradicción, porque hemos asumido que [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas] son relativamente primos, por lo que no pueden dividir ambos 3.
Del mismo modo, podemos demostrar que [math] \ sqrt {p} [/ math] es irracional para cualquier número primo [math] p [/ math], y por extensión que [math] \ sqrt {n} [/ math ] es entero o irracional para todos los enteros [math] \ geq0 [/ math].