¿Qué es la integración de la raíz cuadrada de pecado inverso x?

Answer 1

Deje [math] {\ displaystyle I = \ int \ sqrt {\ sin ^ {- 1} (x)} \, dx} [/ math]

Esta integral tiene una solución de forma cerrada en términos de una función especial.

Sustituyendo:

[matemáticas] {\ displaystyle u = \ arcsin \ left (x \ right) = \ sin ^ {- 1} (x); \ mathrm {d} x = \ sqrt {1-x ^ 2} \, \ mathrm {d} u = \ sqrt {1- \ sin (u) ^ 2} \, \ mathrm {d} u} [/ math ]

[matemáticas] I = {\ displaystyle \ int} \ sqrt {uu \ sin ^ 2 \ left (u \ right)} \, \ mathrm {d} u = {\ displaystyle \ int} \ sqrt {u} \ cos \ left (u \ right) \, \ mathrm {d} u [/ math]

Luego integrando por partes:

[matemáticas] \ int f \, dg = f g- \ int g \, df [/ matemáticas]

[matemáticas] {\ displaystyle f = \ sqrt {u}; df = = \ dfrac {1} {2 \ sqrt {u}} du} [/ math]

[matemáticas] {\ displaystyle dg = \ cos \ left (u \ right); g = \ sin \ left (u \ right)} [/ math]

[matemáticas] {\ displaystyle I = \ sqrt {u} \ sin \ left (u \ right) – {\ displaystyle \ int} \ dfrac {\ sin \ left (u \ right)} {2 \ sqrt {u}} \, \ mathrm {d} u} [/ math]

Sustituyendo nuevamente:

[matemáticas] {\ displaystyle z = \ dfrac {\ sqrt {2 u}} {\ sqrt {{\ pi}}}; \ mathrm {d} u = \ sqrt {2 \ pi u} \, \ mathrm {d} z} [/ math]

[matemáticas] {\ displaystyle I = \ sqrt {u} \ sin \ left (u \ right) – {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}} {\ displaystyle \ int} \ sin \ left (\ dfrac {{\ pi} z ^ 2} {2} \ right) \, \ mathrm {d} z} [/ math]

[matemáticas] {\ displaystyle I = \ sqrt {u} \ sin \ left (u \ right) – \ sqrt {\ frac {\ pi} {2}} \ operatorname {S} \ left (z \ right)} + c, [/ matemáticas]

donde [math] \ operatorname {S} \ left (z \ right) [/ math] es la integral de Fresnel S definida como:

[matemáticas] {\ displaystyle \ operatorname {S} \ left (z \ right) = \ int _ {0} ^ {z} \ sin (t ^ {2}) \, \ mathrm {d} t = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {\ frac {z ^ {4n + 3}} {(2n + 1)! (4n + 3)}}} [/ matemática]

Sustituyendo de nuevo:

[matemáticas] {\ displaystyle I = \ sqrt {u} \ sin \ left (u \ right) – \ sqrt {\ frac {\ pi} {2}} \ operatorname {S} \ left (\ frac {\ sqrt { 2 u}} {\ sqrt {{\ pi}}} \ right) + c} [/ math]

[matemáticas] \ boxed {{\ displaystyle I = x \ sqrt {\ sin ^ {- 1} (x)} – \ sqrt {\ frac {\ pi} {2}} S \ left (\ sqrt {\ frac { 2} {\ pi}} \ sqrt {\ sin ^ {- 1} (x)} \ right) + constante}} [/ matemática]

A continuación hay una gráfica de las partes reales e imaginarias de la solución (hecha con Mathematica):

Answer 2

Podemos encontrar una solución de serie infinita para esta integral indefinida. Primero hacemos una sustitución para convertir esta integral en algo que se pueda expresar usando la serie de Maclaurin.

La integral ahora está en términos de u y conocemos la serie de Maclaurin para [math] cos (u) [/ math]. Podemos usarlo para encontrar la serie Maclaurin para [math] 2u ^ 2cos (u ^ 2) [/ math] reemplazando [math] u [/ math] en la serie por [math] u ^ 2 [/ math] y multiplicando la expresión completa por [math] u ^ 2 [/ math]. Entonces nos integramos.

Sustituye back [math] u = \ sqrt {sin ^ {- 1} x} [/ math] para expresar la serie en términos de [math] \ sqrt {sin ^ {- 1} x} [/ math] o usted puede salir en términos de [matemáticas] u [/ matemáticas]. Los primeros 4 términos dados anteriormente proporcionan una aproximación cercana. Se necesitan más términos para una alta precisión. Para obtener el valor de una integral definida, los límites en x deben cambiarse a los límites en [math] u [/ math] antes de usar el resultado anterior.