¿Cómo resuelve la serie de suma dada: [matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {(n ^ 2 + 4n)} [/ matemáticas]?

Answer 1

No tengo mucho tiempo, así que esta será una respuesta breve y concisa.

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Si es una suma infinita, simplemente necesitamos encontrar

[matemáticas] \ displaystyle \ sum \ limits_ {k \ geq1} \ frac 1 {k (k + 4)} = \ frac 1 {1 \ times5} + \ frac 1 {2 \ times6} + \ frac 1 {3 \ times7} + \ ldots \ tag * {} [/ math]

Dividiendo el término general en fracciones parciales, tenemos

[matemáticas] \ displaystyle \ frac 1 {k (k + 4)} = \ frac 1 {4k} – \ frac 1 {4 (k + 4)} = \ frac 14 \ left (\ frac 1k- \ frac 1 { k + 4} \ right) \ tag * {} [/ math]

Tomando la suma de uno al infinito y ‘factorizando’ el [matemático] 1/4 [/ matemático], tenemos, después de algunas manipulaciones,

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align *} \ frac 14 \ sum \ limites_ {k \ geq1} \ frac 1k- \ frac 1 {k + 4} & = \ frac 14 \ left (1+ \ frac 12+ \ frac 13+ \ ldots- \ frac 15- \ frac 16- \ ldots \ right) \\ & = \ frac 14 \ left (1+ \ frac 12+ \ frac 13+ \ frac 14 \ right) \ end {align * } \ tag * {} [/ math]

La acción de manipular la suma para cancelar los términos se llama telescopía (de retraer un telescopio). Por lo tanto, nuestra respuesta es

[matemáticas] \ displaystyle \ large \ boxed {\ sum \ limits_ {k \ geq1} \ frac 1 {k (k + 4)} = \ frac 14 \ left (1+ \ frac 12+ \ frac 13+ \ frac 14 \ right) = \ frac {25} {48}} \ tag * {} [/ math]

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La confirmación se puede dar a través de Wolfram Alpha.

Answer 2

Tenemos

[matemática] S = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n ^ 2 + 4n} [/ matemática].

Usando descomposición de fracción parcial, escribimos

[matemáticas] a_n = \ frac {1} {n ^ 2 + 4n} = \ frac {1} {n (n + 4)} [/ matemáticas],

y deja

[matemática] \ frac {1} {n (n + 4)} = \ frac {A} {n} + \ frac {B} {n + 4} [/ matemática].

Esto es cierto cuando

[matemática] 1 = A (n + 4) + Bn \ Leftrightarrow (A + B) n + 4A = 1 \ Leftrightarrow A = 1/4, B = -1 / 4 [/ math].

Por lo tanto, podemos escribir nuestra suma como

[matemática] S = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1/4} {n} – \ frac {1/4} {n + 4} [/ matemática].

Ahora, considere la suma parcial dada por

[matemática] S_k = \ sum_ {n = 1} ^ k \ frac {1/4} {n} – \ frac {1/4} {n + 4} [/ matemática].

Escribiendo [matemáticas] S_k [/ matemáticas] explícitamente, tenemos

[matemáticas] S_k = \ frac {1} {4} \ left [\ left (1- \ frac {1} {5} \ right) + \ left (\ frac {1} {2} – \ frac {1} {6} \ right) + \ left (\ frac {1} {3} – \ frac {1} {7} \ right) + \ left (\ frac {1} {4} – \ frac {1} {8 } \ right) + \ left (\ frac {1} {5} – \ frac {1} {9} \ right) + \ cdots + \ left (\ frac {1} {k-3} – \ frac {1} {k + 1} \ right) + \ left (\ frac {1} {k-2} – \ frac {1} {k + 2} \ right) + \ left (\ frac {1} {k-1} – \ frac {1} {k + 3} \ right) + \ left (\ frac {1} {k} – \ frac {1} {k + 4} \ right) \ right] [/ math].

Los términos interiores se cancelan para ceder

[matemáticas] S_k = \ frac {1} {4} \ left [\ left (1+ \ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} + \ frac {1} {4} \ right) – \ left (\ frac {1} {k + 1} + \ frac {1} {k + 2} + \ frac {1} {k + 3} + \ frac {1} {k + 4} \ right) \ right] [/ math].

Para recuperar la serie infinita, tomamos el límite

[matemáticas] S = \ lim_ {k \ to \ infty} S_k = \ lim_ {k \ to \ infty} \ frac {1} {4} \ left [\ left (1+ \ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} + \ frac {1} {4} \ right) – \ left (\ frac {1} {k + 1} + \ frac {1} {k + 2} + \ frac {1 } {k + 3} + \ frac {1} {k + 4} \ right) \ right] = \ frac {1} {4} \ left (1+ \ frac {1} {2} + \ frac {1 } {3} + \ frac {1} {4} \ right) = \ frac {25} {48} [/ math].

Answer 3

n² + 4n = n (n + 4)

¼ (1 / 1–1 / 2) = 1/1 * 5 = 1/5

¼ (1 / 2–1 / 3) = 1/2 * 6 = 1/12

¼ (1 / 3–1 / 4) = 1/3 * 7 = 1/21

¼ (1 / 4–1 / 5) = 1/4 * 8 = 1/32

¼ (1 / 5–1 / 6) = 1/5 * 9 = 1/45

…… .1º CICLO ………

= ¼ (1 / 4–1 / 6)

Lo que queda finalmente como la suma es 1/4 {1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4}