Creo que estás hablando de la suma [matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ n \ prod_ {j = 1} ^ k \ dfrac {2j-1} {2j + 2} [/ matemáticas].
Deje [math] P_k: = \ displaystyle \ prod_ {j = 1} ^ k \ dfrac {2j-1} {2j + 2} [/ math]
Tenemos [matemáticas] P_k = \ displaystyle \ prod_ {j = 1} ^ k \ dfrac {2j-1} {2j + 2} = \ dfrac {\ prod_ {j = 1} ^ k 2j-1} {\ prod_ {j = 1} ^ k 2j + 2} = 2 \ dfrac {\ prod_ {j = 1} ^ k 2j-1} {\ prod_ {j = 1} ^ {k + 1} 2j} [/ math]
Ahora, tenga en cuenta que
- Entonces el enésimo término de la secuencia es3n-2.¿La secuencia es un AP? Si es así, ¿encuentra su décimo término?
- ¿Cuáles son los patrones generales, prácticas y similares para comparar elementos en una secuencia entre sí?
[matemáticas] 2 \ dfrac {\ prod_ {j = 1} ^ k 2j-1} {\ prod_ {j = 1} ^ {k + 1} 2j} = 2 \ dfrac {\ prod_ {j = 1} ^ k 2j-1} {\ prod_ {j = 1} ^ {k + 1} 2j} \ left [(2k + 2) – (2k + 1) \ right] [/ math]
[matemáticas] = 2 \ dfrac {(2k + 2) \ prod_ {j = 1} ^ k (2j-1) – (2k + 1) \ prod_ {j = 1} ^ k (2j-1)} {\ prod_ {j = 1} ^ {k + 1} 2j} [/ matemáticas]
[matemáticas] = 2 \ left (\ dfrac {\ prod_ {j = 1} ^ k 2j-1} {\ prod_ {j = 1} ^ {k} 2j} – \ dfrac {\ prod_ {j = 1} ^ {k + 1} 2j-1} {\ prod_ {j = 1} ^ {k + 1} 2j} \ right) [/ math]
[matemáticas] = 2 \ left (\ displaystyle \ prod_ {j = 1} ^ k \ dfrac {2j-1} {2j} – \ displaystyle \ prod_ {j = 1} ^ {k + 1} \ dfrac {2j- 1} {2j} \ right) [/ math]
Por lo tanto tenemos
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ n \ prod_ {j = 1} ^ k \ dfrac {2j-1} {2j + 2} = 2 \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ n \ left (\ displaystyle \ prod_ {j = 1} ^ k \ dfrac {2j-1} {2j} – \ displaystyle \ prod_ {j = 1} ^ {k + 1} \ dfrac {2j-1} {2j} \ right )[/matemáticas]
Por la propiedad de la serie telescópica [1], tenemos
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ n \ prod_ {j = 1} ^ k \ dfrac {2j-1} {2j + 2} = 2 \ left (\ displaystyle \ prod_ {j = 1} ^ 1 \ dfrac {2j-1} {2j} – \ displaystyle \ prod_ {j = 1} ^ {k + 1} \ dfrac {2j-1} {2j} \ right) [/ math]
[matemáticas] = 2 \ left (\ dfrac {1} {2} – \ dfrac {1 \ cdot 3 \ cdots (2n-1) \ cdot (2n + 1)} {2 \ cdot 4 \ cdots (2n) \ cdot (2n + 2)} \ right) [/ math]
[matemáticas] \ Box [/ matemáticas]
[1] Serie telescópica – Wikipedia