Si coloco al azar un alfiler en un agujero, ¿cómo puedo definir estadísticamente su posición en X e Y?

Creo que está preguntando cómo elegir un punto uniformemente al azar dentro de un círculo de radio [matemática] r [/ matemática], que asumiremos que está centrado en (0, 0). La forma más fácil es elegir un ángulo [matemático] A [/ matemático] uniformemente al azar de 0 a [matemático] 2 \ pi [/ matemático]. Ahora elige independientemente una distancia [matemática] D [/ matemática] desde el centro. Tenga en cuenta que no desea que [math] D [/ math] sea elegido uniformemente de 0 a [math] r [/ math], o obtendría
[matemáticas] P \ left (D \ leq \ frac {r} {2} \ right) = \ frac {1} {2}. [/ math]
Esto está mal, porque esta probabilidad es la fracción del círculo ocupado por un círculo concéntrico con radio [matemática] \ frac {r} {2} [/ matemática], que es [matemática] \ frac {1} {4}. [/matemáticas]

Como sugiere este ejemplo, debería elegir [matemática] D ^ 2 [/ matemática] uniformemente entre 0 y [matemática] r ^ 2 [/ matemática]. Después de tener [matemáticas] A [/ matemáticas] y [matemáticas] D [/ matemáticas] puede configurar
[matemáticas] X = D \ cos {A}, Y = D \ sin {A} [/ matemáticas]

La distribución de probabilidad se formará como dos semicírculos apilados uno encima del otro para desempolvar los libros de cálculo e integrar el área debajo del semicírculo y multiplicar por dos. Ha sido demasiado tiempo para recordar los detalles, pero verás las funciones trigonométricas. x (t) = -Rcos (t), y (t) = Rsin (t)

Lamento no completarlo, pero esto debería ayudarlo a comenzar.

También puede hacer un muestreo de rechazo: generar puntos aleatorios en un cuadrado que rodea el hoyo y rechazar los puntos que no se encuentran dentro del hoyo.

El Compendio de iluminación global describe algunos otros enfoques para el muestreo aleatorio de discos. Consulte la página 11 de http://people.cs.kuleuven.be/~ph