¿Qué es [math] \ int \ frac {x ^ 4} {x ^ 2-4} dx [/ math]?

Answer 1

Hola.

Vamos a usar la sustitución algebraica en su lugar porque podemos hacerlo aquí.

[matemáticas] \ text {Let U} = x ^ 2 – 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] {(U + 4)} ^ {2} = {x ^ {2}} ^ {2} [/ matemáticas]

La función racional se convierte en:

[matemáticas] \ dfrac {{(U + 4)} ^ {2}} {U} = \ dfrac {U ^ 2 + 8U + 16} {U} [/ matemáticas]

Esto se simplifica a:

[matemáticas] \ dfrac {U ^ 2} {U} + \ dfrac {8U} {U} + \ dfrac {16} {U} [/ matemáticas]

[matemáticas] U + 8 + \ dfrac {16} {U} = \ dfrac {{(U + 4)} ^ {2}} {U} [/ matemáticas]

La integral por lo tanto se convierte en:

[matemáticas] \ displaystyle \ int U + 8 + \ dfrac {16} {U} [/ matemáticas]

Sustituyendo de nuevo por [matemáticas] U = x ^ 2 – 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x ^ 2 – 4) + 8 + \ dfrac {16} {(x ^ 2 + 4)} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ int x ^ 2 + 4 + \ dfrac {16} {(x ^ 2 + 4)} dx [/ matemáticas]

Ahora puedes integrarlo un poco más fácil que antes (espero). Necesitaría fracciones parciales para el término fractonal.

Answer 2

En primer lugar, observe que puede sumar y restar un término adicional en la parte superior de la fracción:

[matemáticas] \ int {\ frac {{x} ^ {4}} {{x} ^ {2} -4}} dx = \ int {\ frac {{x} ^ {4} – {4x} ^ { 2} +4 {x} ^ {2}} {{x} ^ {2} -4}} dx [/ matemáticas]

Entonces podemos factorizar un múltiplo del denominador como tal:

[matemáticas] \ int {\ frac {{x} ^ {4} – {4x} ^ {2} +4 {x} ^ {2}} {{x} ^ {2} -4}} dx = \ int {{x} ^ {2} + \ frac {4 {x} ^ {2}} {{x} ^ {2} -4}} dx [/ matemáticas]

Mediante un método similar al anterior, podemos sumar y restar arriba:

[matemáticas] \ int {{x} ^ {2} + \ frac {4 {x} ^ {2}} {{x} ^ {2} -4}} dx = \ int {{x} ^ {2} + \ frac {4 {x} ^ {2} -16 + 16} {{x} ^ {2} -4}} dx [/ matemáticas]

Por otra parte, saque el factor del denominador:

[matemáticas] \ int {{x} ^ {2} + \ frac {4 {x} ^ {2} -16 + 16} {{x} ^ {2} -4}} dx = \ int {{x} ^ {2} +4+ \ frac {16} {{x} ^ {2} -4}} dx [/ matemáticas]

Ahora, podemos dividir la fracción restante en fracciones parciales:

[matemáticas] \ int {{x} ^ {2} +4+ \ frac {16} {{x} ^ {2} -4}} dx = \ int {{x} ^ {2} +4+ \ frac {4} {{x} -2} – \ frac {4} {{x} +2}} dx [/ math]

Ahora cada término se integra fácilmente mediante métodos de integración tradicionales para obtener:

[matemáticas] \ frac {1} {3} {x} ^ {3} + 4x + 4 \ ln {\ left | x-2 \ right | } -4 \ ln {\ left | x + 2 \ derecha | } + C [/ matemáticas]

donde C es una constante en el campo.

Answer 3

[matemáticas] \ begin {align *} I & = \ displaystyle \ int \ dfrac {x ^ 4} {x ^ 2-4} \, \ mathrm {d} x \\ & = \ displaystyle \ int \ dfrac {x ^ 4-16 + 16} {x ^ 2-4} \, \ mathrm {d} x \\ & = \ int \ dfrac {(x ^ 2-4) (x ^ 2 + 4)} {x ^ 2- 4} \, \ mathrm {d} x + \ displaystyle \ int \ dfrac {16 \, \ mathrm {d} x} {x ^ 2-4} \\ & = \ displaystyle \ int (x ^ 2 + 4) \ , \ mathrm {d} x + 16 \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {x ^ 2-2 ^ 2} \, \ mathrm {d} x \\ & = \ dfrac {x ^ 3} {3} + 4x + 16 \ cdot \ dfrac {1} {2 (2)} \ ln \ left | \ dfrac {x-2} {x + 2} \ right | + C \\ & = \ dfrac {x ^ 3} { 3} + 4x + 4 \ ln \ left | \ dfrac {x-2} {x + 2} \ right | + C \ end {align *} \ tag * {} [/ math]

Answer 4

Primero, escriba [math] \ dfrac {x ^ 4} {x ^ 2-4} [/ math] como [math] x ^ 2 + 4 + \ dfrac {16} {x ^ 2-4} [/ math] , mediante el uso de la división polinómica o mediante una combinación de inspección y prueba y error. La integración de los términos no fraccionarios es sencilla. Para la integración de la función racional [matemáticas] \ dfrac {16} {x ^ 2-4} [/ matemáticas], dividirla en fracciones parciales debería ser el truco.

Answer 5

[matemáticas] \ int \ displaystyle \ frac {x ^ 4-16 + 16} {x ^ 2-4} \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int x ^ 2 + 4 + \ displaystyle \ frac {16} {x ^ 2-4} \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {x ^ 3} {3} + 4x + \ int \ displaystyle \ frac {16} {x ^ 2-4} \, dx [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {x ^ 3} {3} + 4x-4 \ int \ displaystyle \ frac {4} {4-x ^ 2} \, dx [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {x ^ 3} {3} + 4x-4 \ int \ displaystyle \ frac {2 + x + 2-x} {(2 + x) (2-x)} \, dx [ /matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {x ^ 3} {3} + 4x-4 \ int \ displaystyle \ frac {1} {2-x} + \ displaystyle \ frac {1} {2 + x} \, dx [ /matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {x ^ 3} {3} + 4x-4 (\ ln (2 + x) – \ ln (2-x)) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {x ^ 3} {3} + 4x-4 \ ln \ displaystyle \ frac {2 + x} {2-x} + C [/ math]