Las funciones cuadráticas son más que curiosidades algebraicas: se utilizan ampliamente en ciencia, negocios e ingeniería. La forma de U de una parábola puede describir las trayectorias de los chorros de agua en una fuente y una pelota que rebota, o incorporarse a estructuras como los reflectores parabólicos que forman la base de las antenas parabólicas y los faros de los automóviles. Las funciones cuadráticas ayudan a pronosticar las ganancias y pérdidas comerciales, trazan el curso de los objetos en movimiento y ayudan a determinar los valores mínimos y máximos. La mayoría de los objetos que usamos todos los días, desde automóviles hasta relojes, no existirían si alguien, en algún lugar, no hubiera aplicado funciones cuadráticas a su diseño.
Comúnmente usamos ecuaciones cuadráticas en situaciones donde dos cosas se multiplican juntas y ambas dependen de la misma variable. Por ejemplo, cuando se trabaja con área, si ambas dimensiones están escritas en términos de la misma variable, usamos una ecuación cuadrática. Debido a que la cantidad de un producto vendido a menudo depende del precio, a veces usamos una ecuación cuadrática para representar los ingresos como un producto del precio y la cantidad vendida. Las ecuaciones cuadráticas también se usan cuando la gravedad está involucrada, como la trayectoria de una bola o la forma de los cables en un puente colgante.
Una aplicación muy común y fácil de entender de una función cuadrática es la trayectoria seguida por los objetos lanzados hacia arriba en ángulo. En estos casos, la parábola representa el camino de la pelota (o roca, o flecha, o lo que sea que se lance). Si trazamos la distancia en el eje x y la altura en el eje y , la distancia del lanzamiento será el valor x cuando y es cero. Este valor es una de las raíces de una ecuación cuadrática , o intersecciones x , de la parábola. Sabemos cómo encontrar las raíces de una ecuación cuadrática, ya sea factorizando, completando el cuadrado o aplicando la fórmula cuadrática .
Veamos un lanzamiento realizado por un lanzador de balas. Observe que x = 0 cuando el lanzador de golpes tiene el tiro (una bola de metal pesado) en la mano; el tiro aún no se ha ido a ningún lado. El lanzador de golpes generalmente comienza con el tiro en el hombro, por lo que y (altura) no es 0 cuando x = 0:
0 = -0.0241x ^ 2 + x + 5.5
El lanzamiento termina cuando el disparo toca el suelo. La altura y en ese punto es 0, por lo tanto, establezca la ecuación igual a cero.
x = (- (1) + – √ ((1) ^ 2–4 (-0.0241) (5.5))) / 2 (-0.0241)
Esta ecuación es difícil de factorizar o completar el cuadrado, por lo que resolveremos aplicando la fórmula cuadrática,
x = (- b + -√D) / 2a
x = (- (1) + – √ ((1) ^ 2–4 (-0.0241) (5.5))) / 2 (-0.0241)
simplificar:
x = (- 1 + -√1.5302) / – 0.482
x_1 = 46,4
x_2 = -4.9
¿Las raíces tienen sentido? La parábola descrita por la función cuadrática tiene dos intersecciones en x . Pero el disparo solo viajó a lo largo de parte de esa curva.
Una solución, -4.9, no puede ser la distancia recorrida porque es un número negativo.
La otra solución, 46.4 pies, debe dar la distancia del lanzamiento.
- Encontrar el máximo y el mínimo
Otro uso común de la ecuación cuadrática en aplicaciones del mundo real es encontrar valores máximos (el más alto o más alto ) o mínimos (el mínimo o el más bajo ) de algo. Recuerde que el vértice es el punto de inflexión de una parábola. Para una parábola que se abre hacia abajo, el vértice es el punto más alto, que ocurre en el valor y máximo posible. Para una parábola que se abre hacia arriba, el vértice es el punto más bajo de la parábola y ocurre en el valor mínimo de y .
Para usar una ecuación cuadrática para encontrar un máximo o mínimo, generalmente queremos poner la ecuación cuadrática en la forma de vértice de una ecuación cuadrática , y = a (xh) ^ 2 + k
Esto nos permite identificar rápidamente las coordenadas del vértice ( h , k ).
Las ecuaciones cuadráticas a veces se utilizan para modelar situaciones y relaciones en los negocios, la ciencia y la medicina. Un uso común en los negocios es maximizar las ganancias, es decir, la diferencia entre los ingresos totales (dinero ingresado) y los costos de producción (dinero gastado).
La relación entre el costo de un artículo y la cantidad vendida es a menudo lineal. En otras palabras, por cada aumento de $ 1 en el precio hay una disminución correspondiente en la cantidad vendida. (Piénselo: si el precio de algo sube, ¿compra más o menos? ¡Ojalá menos!) Una vez que determinamos una relación entre el precio de venta de un artículo y la cantidad vendida, podemos pensar en cómo generar más lucro. ¿A qué precio de venta ganamos más dinero?
La cantidad de ganancia se encontrará tomando los ingresos totales (la cantidad vendida multiplicada por el precio de venta) y restando el costo para producir todos los artículos: Ganancia = Ingresos totales – Costos de producción . Podemos integrar la relación lineal de precio de venta a cantidad y la fórmula de Ganancia y crear una ecuación cuadrática, que luego podemos maximizar.
Las funciones cuadráticas se utilizan en muchos tipos de situaciones del mundo real. Son útiles para describir la trayectoria de una pelota, determinar la altura de un objeto lanzado y optimizar las ganancias para las empresas. Al resolver un problema utilizando una función cuadrática, puede ser necesario encontrar el vértice o describir una sección de la parábola.