¿Cuáles son las aplicaciones de la ecuación cuadrática?

En física , podemos describir el movimiento a través de ecuaciones cuadráticas y paramétricas

En biología , podemos describir las frecuencias alélicas en una población con la ecuación de Weinberg cuadrática resistente

En química , podemos describir las disposiciones de los sólidos, con la molécula unitaria en forma de cubo en el que están encerrados los átomos esféricos. La fórmula para el área de superficie de todos estos es cuadrática

En economía , podemos describir el crecimiento de un fondo de cobertura a través de una parábola.

Y, por supuesto, en matemáticas , podemos encontrar las raíces de CUALQUIER polinomio (coeficientes reales) de grado 2, de acuerdo con el teorema fundamental del álgebra.

¿Alguna vez te han dicho que las ecuaciones cuadráticas nunca te ayudarán en la vida? Bueno, si tienes un trabajo real en el futuro, podrías tenerlo.

Excelente pregunta!

Las ecuaciones cuadráticas son el primer paso hacia una comprensión completa de la teoría de ecuaciones, y la resolución de ecuaciones de primer grado por radicales se presenta primero en el caso de ecuaciones cuadráticas.
Si está interesado en sus aplicaciones en situaciones reales, los problemas simples de cinemática y dinámica a menudo conducen a ecuaciones cuadráticas. En el caso de la resonancia RLC en serie en los circuitos de CA, la nitidez y selectividad de un circuito se determina mediante una ecuación cuadrática. Puede sonar demasiado teórico, pero también encuentra aplicación directa en cosas como detectores de metales y radios. Entonces, en cualquier nivel, ya sea que esté interesado en las matemáticas o la física puras, comprender las ecuaciones cuadráticas es vital.

Las funciones cuadráticas son más que curiosidades algebraicas: se utilizan ampliamente en ciencia, negocios e ingeniería. La forma de U de una parábola puede describir las trayectorias de los chorros de agua en una fuente y una pelota que rebota, o incorporarse a estructuras como los reflectores parabólicos que forman la base de las antenas parabólicas y los faros de los automóviles. Las funciones cuadráticas ayudan a pronosticar las ganancias y pérdidas comerciales, trazan el curso de los objetos en movimiento y ayudan a determinar los valores mínimos y máximos. La mayoría de los objetos que usamos todos los días, desde automóviles hasta relojes, no existirían si alguien, en algún lugar, no hubiera aplicado funciones cuadráticas a su diseño.

Comúnmente usamos ecuaciones cuadráticas en situaciones donde dos cosas se multiplican juntas y ambas dependen de la misma variable. Por ejemplo, cuando se trabaja con área, si ambas dimensiones están escritas en términos de la misma variable, usamos una ecuación cuadrática. Debido a que la cantidad de un producto vendido a menudo depende del precio, a veces usamos una ecuación cuadrática para representar los ingresos como un producto del precio y la cantidad vendida. Las ecuaciones cuadráticas también se usan cuando la gravedad está involucrada, como la trayectoria de una bola o la forma de los cables en un puente colgante.

  • Usando la parábola

Una aplicación muy común y fácil de entender de una función cuadrática es la trayectoria seguida por los objetos lanzados hacia arriba en ángulo. En estos casos, la parábola representa el camino de la pelota (o roca, o flecha, o lo que sea que se lance). Si trazamos la distancia en el eje x y la altura en el eje y , la distancia del lanzamiento será el valor x cuando y es cero. Este valor es una de las raíces de una ecuación cuadrática , o intersecciones x , de la parábola. Sabemos cómo encontrar las raíces de una ecuación cuadrática, ya sea factorizando, completando el cuadrado o aplicando la fórmula cuadrática .

Veamos un lanzamiento realizado por un lanzador de balas. Observe que x = 0 cuando el lanzador de golpes tiene el tiro (una bola de metal pesado) en la mano; el tiro aún no se ha ido a ningún lado. El lanzador de golpes generalmente comienza con el tiro en el hombro, por lo que y (altura) no es 0 cuando x = 0:

0 = -0.0241x ^ 2 + x + 5.5

El lanzamiento termina cuando el disparo toca el suelo. La altura y en ese punto es 0, por lo tanto, establezca la ecuación igual a cero.

x = (- (1) + – √ ((1) ^ 2–4 (-0.0241) (5.5))) / 2 (-0.0241)

Esta ecuación es difícil de factorizar o completar el cuadrado, por lo que resolveremos aplicando la fórmula cuadrática,

x = (- b + -√D) / 2a

x = (- (1) + – √ ((1) ^ 2–4 (-0.0241) (5.5))) / 2 (-0.0241)

simplificar:

x = (- 1 + -√1.5302) / – 0.482

x_1 = 46,4

x_2 = -4.9

¿Las raíces tienen sentido? La parábola descrita por la función cuadrática tiene dos intersecciones en x . Pero el disparo solo viajó a lo largo de parte de esa curva.

Una solución, -4.9, no puede ser la distancia recorrida porque es un número negativo.

La otra solución, 46.4 pies, debe dar la distancia del lanzamiento.

  • Encontrar el máximo y el mínimo

Otro uso común de la ecuación cuadrática en aplicaciones del mundo real es encontrar valores máximos (el más alto o más alto ) o mínimos (el mínimo o el más bajo ) de algo. Recuerde que el vértice es el punto de inflexión de una parábola. Para una parábola que se abre hacia abajo, el vértice es el punto más alto, que ocurre en el valor y máximo posible. Para una parábola que se abre hacia arriba, el vértice es el punto más bajo de la parábola y ocurre en el valor mínimo de y .

Para usar una ecuación cuadrática para encontrar un máximo o mínimo, generalmente queremos poner la ecuación cuadrática en la forma de vértice de una ecuación cuadrática , y = a (xh) ^ 2 + k

Esto nos permite identificar rápidamente las coordenadas del vértice ( h , k ).

  • Modelando una Situación

Las ecuaciones cuadráticas a veces se utilizan para modelar situaciones y relaciones en los negocios, la ciencia y la medicina. Un uso común en los negocios es maximizar las ganancias, es decir, la diferencia entre los ingresos totales (dinero ingresado) y los costos de producción (dinero gastado).

La relación entre el costo de un artículo y la cantidad vendida es a menudo lineal. En otras palabras, por cada aumento de $ 1 en el precio hay una disminución correspondiente en la cantidad vendida. (Piénselo: si el precio de algo sube, ¿compra más o menos? ¡Ojalá menos!) Una vez que determinamos una relación entre el precio de venta de un artículo y la cantidad vendida, podemos pensar en cómo generar más lucro. ¿A qué precio de venta ganamos más dinero?

La cantidad de ganancia se encontrará tomando los ingresos totales (la cantidad vendida multiplicada por el precio de venta) y restando el costo para producir todos los artículos: Ganancia = Ingresos totales – Costos de producción . Podemos integrar la relación lineal de precio de venta a cantidad y la fórmula de Ganancia y crear una ecuación cuadrática, que luego podemos maximizar.

  • Resumen

Las funciones cuadráticas se utilizan en muchos tipos de situaciones del mundo real. Son útiles para describir la trayectoria de una pelota, determinar la altura de un objeto lanzado y optimizar las ganancias para las empresas. Al resolver un problema utilizando una función cuadrática, puede ser necesario encontrar el vértice o describir una sección de la parábola.

Muchas aplicaciones del mundo real (tanto puras como aplicadas) tienen dinámicas en las que una función aumenta al máximo y luego disminuye nuevamente. O viceversa.

Nos interesamos en estas dinámicas cuando buscamos maximizar algo, como el “beneficio”, o minimizar algo como el “tiempo”. Las ecuaciones lineales no tienen tales extremos, ya que simplemente siguen en línea recta.

El término cuadrático nos da la encantadora forma de u (tiene un mínimo) o forma de n (tiene un máximo), y luego al usar el cálculo podemos encontrar los extremos.

¡Hagamos un ejemplo! En regresión lineal se nos da un conjunto de n puntos {x1, …, xn} y sus “salidas” {y1, …, yn} y queremos modelar la salida como (digamos) una función lineal de las entradas.

Entonces configuramos el modelo y = mx y queremos encontrar el valor de m que minimice el “error” en este modelo.

yi = m xi + ei

donde ei son los errores para un valor dado de m.

queremos minimizar Sum (ei ^ 2) probando diferentes valores de m.

Tenemos ei = yi – m xi

Entonces Sum (ei ^ 2) = Sum ((yi-mxi) ^ 2) = Sum (yi ^ 2 + m ^ 2.xi ^ 2-2yi.xi)

¡Cuál es un cuadrático en m!

Diferenciar este wrt. my establece igual a 0 para encontrar los extremos (comprueba que es un mínimo, te lo dejaré a ti …) para obtener

m = Suma (xi.yi) / Suma (xi ^ 2)

Entonces, hay una aplicación: cómo hacer la regresión OLS (mínimos cuadrados ordinarios) con las manos desnudas.

El cuadrático es tan conocido y entendido que es bastante aceptable “saltar directamente a la respuesta” cuando aparece uno en su trabajo. Siempre podemos regresar y hacer el cálculo real, pero con bastante frecuencia, simplemente bautizar las raíces nuevamente y presionar ahorra tiempo.

Pero hay más. Una cuadrática se parece a una parábola (de hecho, ES una parábola) cuando se grafica. Todas las parábolas son idénticas hasta una rotación y ampliación.

Las parábolas aparecen en todas partes (¡excepto los puentes de suspensión bien construidos!), Por lo que al comprenderlas bien, se obtiene una gran cantidad de beneficios, ya que todas sus ecuaciones y soluciones son inmediatamente aplicables sin más preámbulos.

Es inusual que la Madre Naturaleza sea descrita tan bien por modelos con no más que un término cuadrático, ¡pero ahí lo tienes!

El estudio de ecuaciones cuadráticas prepara una gran base en álgebra, hay aplicaciones muy interesantes basadas exclusivamente en QE. Ayuda en:
– Dibujando una parábola.
– simplifica muchas expresiones aljebric y, por lo tanto, mejora su análisis.
– derivando conclusiones imp en física, como el estudio de paraboloides (movimiento de fluidos), movimiento rotacional de cuerpos …

Si no tiene en cuenta la fricción del aire, una ecuación cuadrática describe la parábola que se forma cuando arroja algo. Así que digamos que sabes que Rapunzel está mirando por la ventana y que debes avisarle exactamente cuándo soltarse el pelo. ¿Qué tan rápido necesitas lanzar una piedra para que la vea y cuándo estará nivelada con su ventana? Si lo arroja directamente a una velocidad de usted y su ventana tiene 100 metros de altura, ¿cuántos segundos más tarde pasará su ventana, si es que lo hace?

Usando la ecuación de movimiento [matemáticas] s = ut + \ frac {1} {2} en ^ 2 [/ matemáticas]

Conecte la altura de la ventana y la aceleración debido a la gravedad, g, de 9.81 [matemáticas] m / s ^ 2 [/ matemáticas] y mueva todo a la izquierda.

[matemáticas] -9.81t ^ 2 + ut -100 = 0 [/ matemáticas]

Use la fórmula [matemáticas] \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} [/ matemáticas]
donde a = -9.81, b = u y c = -100
[matemáticas] t = \ frac {u \ pm \ sqrt {u ^ 2-4 \ times9.81 \ times100}} {2 \ times9.81} [/ math]

Esto solo será en tiempo real si las cosas debajo del sqrt son positivas, por lo que [math] u ^ 2 [/ math] debe ser mayor que 3924. Por lo tanto, debe ser 62.64 [math] m / s [/ math]. (~ 140 mph), un tiro bastante duro. Con esta velocidad inicial, las cosas debajo del sqrt son cero y la piedra gana altura de ventana después de 62.64 / 2 / 9.81 segundos (3.2s). Si arrojó es un poco más difícil, digamos a 70 m / s, pasaría la ventana dos veces, es decir, en [matemáticas] t = \ frac {70 \ pm \ sqrt {70 ^ 2-4 \ times-9.81 \ times-100} } {2 \ times9.81} [/ math] segundos o 1.98s y ​​nuevamente a las 5.16s.

Entonces, como puede ver, las ecuaciones cuadráticas pueden ser muy útiles para los príncipes guapos.

Las ecuaciones cuadráticas como herramienta matemática no se limitan a ninguna aplicación en particular, aparecen en todas partes, algunos ejemplos populares son los siguientes:

  1. Movimiento de proyectil: la trayectoria seguida por un proyectil es una trayectoria parabólica, y una parábola es una ecuación cuadrática en la forma y ^ 2 = 4 * a * x; en resumen, las ecuaciones cuadráticas se usan para predecir el camino de un proyectil.
  2. Cálculo de la resistencia efectiva de resistencias en paralelo (o condensadores en serie)
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  4. En química física también les gusta calcular el pH de una solución.
  5. Estoy vinculando un sitio para mostrarle algunos ejemplos de la vida real.

Ejemplos del mundo real de ecuaciones cuadráticas

A partir de la forma de la ecuación cuadrática, puede ver que las raíces complejas de polinomios reales de segundo grado siempre aparecerán como pares conjugados. Esto se deduce de la simetría de la línea imaginaria en relación con la línea real (los números reales no pueden diferenciar entre i positivo y negativo).

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