¿Existe una alternativa a tan (arctan (a) + arctan (b)) sin relaciones trigonométricas?

¿Qué significa “sin relaciones trigonométricas“?

Si quiere decir “no hay identidades o definiciones de trigonometría”, entonces no, porque es bastante difícil hacer trigonometría sin trigonometría.

Si está buscando simplificar [matemáticas] \ tan (\ arctan (a) + \ arctan (b)) [/ matemáticas], entonces puede usar la regla de suma de ángulos tangentes: [matemáticas] \ tan (x + y ) = \ dfrac {\ tan (x) + \ tan (y)} {1- \ tan (x) \ tan (y)} [/ math]. Esta identidad puede probarse utilizando las reglas de suma de seno y coseno, que a su vez pueden probarse geométricamente.

Usando esta regla, obtenemos que [matemáticas] \ tan (\ arctan (a) + \ arctan (b)) = \ dfrac {\ tan (\ arctan (a)) + \ tan (\ arctan (b))} { 1 – [\ tan (\ arctan (a))] [\ tan (\ arctan (b))]} [/ math].

Suponiendo que [math] a, \, b \ in (- \ frac \ pi 2, \, \ frac \ pi 2) [/ math], la expresión se simplifica a [math] \ dfrac {a + b} {1- ab} [/ matemáticas].

Claro, no necesitamos trigonometría para trabajar en tangentes; Son pendientes. Es conveniente usar algunos trigonométricos para obtener la fórmula del ángulo de suma de tangentes y luego sustituir:

[matemáticas] e ^ {i (A + B)} = e ^ {iA} e ^ {iB} = (\ cos A + i \ sin A) (\ cos B + i \ sin B) [/ matemáticas]

Equiparar las respectivas partes reales e imaginarias,

[matemáticas] \ cos (A + B) = \ cos A \ cos B – \ sin A \ sin B [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sin (A + B) = \ sin A \ cos B + \ cos A \ sin B [/ matemáticas]

Divisor,

[matemáticas] \ tan (A + B) = \ dfrac {\ sin (A + B)} {\ cos (A + B)} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {\ sin A \ cos B + \ cos A \ sin B} {\ cos A \ cos B – \ sin A \ sin B} \ cdot \ dfrac {1 / \ cos A \ cos B} {1 / \ cos A \ cos B} [/ math]

[matemáticas] \ tan (A + B) = \ dfrac {\ tan A + \ tan B} {1 – \ tan A \ tan B} [/ matemáticas]

Deje que [math] A = \ arctan a [/ math] entonces [math] a = \ tan A [/ math] y [math] B = \ arctan b [/ math] so [math] b = \ tan B. [ / math] Llamemos a la tangente de los ángulos agregados [math] t = \ tan (A + B). [/ math]

[matemáticas] t = \ dfrac {a + b} {1 – ab} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ tan (\ arctan a + \ arctan b) = \ frac {\ tan (\ arctan a) + \ tan (\ arctan b)} {1 – \ tan (\ arctan a) \ tan (\ arctan b )}[/matemáticas]

[matemática] \ Rightarrow \ qquad \ tan (\ arctan a + \ arctan b) = \ frac {a + b} {1-ab}. [/ math]

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