¿Los matemáticos piensan que todas las verdades matemáticas tienen fundamentos necesarios para su veracidad, sin espacio en la arena matemática para la arbitrariedad o contingencia?

De ninguna manera. Lo que se considera verdad matemática ha variado mucho a lo largo de los siglos, y todavía está cambiando ocasionalmente.

  1. La matemática es una idea humana. Lo que significa ha cambiado radicalmente a lo largo de los milenios.
  2. Los matemáticos no han acordado qué es un objeto matemático legítimo. Ha habido objeciones a 0, números irracionales, longitudes no construibles con la regla y el compás euclidianos, números negativos, cálculo, números complejos, geometría no euclidiana, geometría de dimensiones superiores, fractales, conjuntos no medibles, infinitos, infinitesimales, conjunto teorías de varios tipos, indecidibilidad y otras nociones que ahora son generalmente aceptadas.
  3. Aristóteles sostuvo que las proposiciones deben ser necesariamente verdaderas o falsas, sin otras alternativas. Este es el principio del medio excluido. Resulta que no es el caso.
  4. La veracidad o la verdad no pueden definirse consistentemente en las matemáticas convencionales. Esta es una consecuencia simple del trabajo de Gödel descubierto por Tarski.
  5. Las matemáticas no convencionales funcionan de muchas maneras diferentes, y la mayoría de los matemáticos se sienten incómodos. Un ejemplo es el sistema de Frederic Fitch en Symbolic Logic . Abandona el Principio del Medio Excluido. Esto y un conjunto cuidadosamente diseñado de reglas de inferencia lo saca de las condiciones del Segundo Teorema de Gödel, de modo que el sistema SL tiene oraciones indecidibles, pero se puede demostrar que SL es consistente.
  6. Ha habido una larga búsqueda de un sistema matemático que pueda representar todas las matemáticas. No tenemos uno, y la idea parece ser imposible de realizar por completo. Algunas propuestas anteriores incluyen teoría de conjuntos, lógica matemática, teoría de categorías, teoría de gavilla y teoría de topos. Hasta ahora hemos podido generalizar más cada uno de ellos.

La mayoría de los matemáticos no necesitan preocuparse por tales cosas.

Como matemático, veo las matemáticas como un conjunto de enunciados, por ejemplo, cada número par mayor que dos es la suma de dos números primos, o, la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180 grados.

Las declaraciones pueden estar conectadas por una serie de pasos que consisten en manipular símbolos. Esto se llama probar que una declaración implica otra. Si la primera afirmación es verdadera, entonces también lo es la segunda.

La verdad aquí es una idea matemática que, aunque está conectada con el concepto de verdad que usamos en el habla cotidiana, no es necesariamente idéntica a ella.

El sistema axiomático consiste en elegir algunas afirmaciones como verdaderas. Estos son los axiomas, que alguna vez fueron considerados “verdades evidentes”, pero nadie diría eso hoy. Los matemáticos quieren dos cosas de sus axiomas, que sean consistentes, es decir, si puedo demostrar que un estado dado es verdadero, que no puedo probar también que la negación es verdadera. (Por ejemplo, si puedo demostrar que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es estrictamente menor que 180, y también probar que la suma es estrictamente mayor que 180, ¡tengo un problema! El sistema es inconsistente e inútil).

También quieren que estén completos, es decir, para una declaración dada, quieren, ya sea, probar que es verdadero o falso. Desafortunadamente, Godel demostró que esto no se puede hacer, y produjo una declaración que no se puede probar como verdadera o falsa. Es indecidible. Lo peculiar es que podemos ver que es cierto, pero no podemos probarlo, en el sentido descrito anteriormente. Esto muestra la diferencia entre la verdad matemática y la verdad cotidiana.

No hay nada arbitrario en esto, aparte de la elección de los axiomas, y la forma en que se nos permite manipularlos. Por ejemplo, en geometría, si uno de nuestros axiomas dice que las líneas paralelas nunca se encuentran, tenemos geometría euclidiana. Si decimos que no existen líneas paralelas, y todas las líneas se encuentran, podemos producir geometría esférica, como en la superficie de una esfera.

Se dice que un ser infinitamente inteligente encontraría las matemáticas triviales.

Espero que esto ayude.

No estoy seguro de que entiendas el concepto de una verdad matemática.

Una vez que se le da un conjunto específico de axiomas, se encuentran verdades matemáticas. Los axiomas son donde puedes lidiar con lo arbitrario. Cambia los axiomas, obtienes un conjunto diferente de verdades.

SS Stevens (Manual de Psicología Experimental) describió las matemáticas como “la regla del juego”, cambia una regla y obtienes un juego ligeramente diferente. Cambie muchas reglas para obtener un juego muy diferente (intente jugar al monopolio según las reglas reales). Cambia todas las reglas para obtener un juego totalmente diferente.

Sí.

En lo que respecta a mi filosofía de las matemáticas, las matemáticas consisten en describir una estructura que debe satisfacer ciertas reglas que le imponemos y luego ver qué podemos demostrar que es verdad.

Por ejemplo, podemos decir que queremos describir algo que nos gustaría llamar números naturales. Podemos hacerlo imponiendo un conjunto de reglas llamadas axiomas de Peano (ver Axiomas de Peano – Wikipedia) y luego podemos demostrar que satisface las propiedades que nos gustaría tener (de modo que cada número natural tenga un sucesor que también sea natural). número).

No hay lugar para la arbitrariedad o contingencia allí, solo saca conclusiones comprobables de un conjunto de reglas.

La validez de una proposición matemática depende de la elección de axiomas y definiciones, y no hay nada necesario acerca de qué axiomas o definiciones elige adoptar un matemático al hacer matemáticas. Pueden ser elegidos libremente. Una vez elegido, lo que se demuestra a partir de esos axiomas y definiciones es necesario. Pero solo es necesario dentro del contexto de esa libre elección de axiomas y definiciones. Entonces la verdad es contingente en ese sentido.

Por ejemplo, si uno elige adoptar los axiomas de la geometría euclidiana, entonces necesariamente se deduce que la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180 grados. Pero si uno elige los axiomas de una geometría no euclidiana, eso ya no es cierto. Entonces, la verdad de esa proposición depende de la elección de los axiomas.

Siempre hay una contingencia persistente para TODAS las pruebas matemáticas.

Los seres humanos cometen errores, por lo que no hay forma de decir inequívocamente que una prueba es válida. Y eso se extiende a la cantidad de ojos que lo hayan mirado.

Probé mal este documento cuando era pasante.

Soy ese árbitro anónimo en el pie de página de la segunda imagen.

Aunque estaría en lo cierto al pensar que la probabilidad es un tema matemático en el que se introduce la incertidumbre y que definitivamente se relaciona con la contingencia, debe darse cuenta de que las matemáticas todavía se ocupan únicamente de derivar declaraciones categóricas.

Supongo que el hecho de que todos los matemáticos puedan creer que una afirmación como la conjetura de Goldbach es cierta (en otras palabras, hay casi un 100 por ciento de posibilidades de que sea cierta) y, sin embargo, no tiene importancia hasta que se demuestre, lo dice todo.

Como otros han señalado, cualquier arbitrariedad (aunque yo diría que estos no son completamente arbitrarios) está en la elección de axiomas en los que se basan las matemáticas particulares.

Puede ser útil comprender que las matemáticas ya no pretenden ser un reflejo de la realidad, por lo que no deberíamos decepcionarnos de que aparentemente esté separado de las vicisitudes e insondabilidades de la vida cotidiana.

No estoy seguro de que aleatorizar axiomas conduzca a algo útil, especialmente con la restricción de la coherencia. Por eso, por lo que sé, no se ha intentado, pero nunca se sabe.

Es justo lo opuesto. En matemáticas no hay hechos, no hay teoremas, ninguna proposición es verdadera por sí misma.

Las matemáticas son una gran biblioteca de pruebas de “si esto es cierto, entonces también es cierto”. La forma en que organiza la cadena de razonamientos depende de usted, así como el conjunto de verdades que considera evidentes para comenzar la cadena.

Así que hay conjeturas (el famoso axioma de elección es uno entre muchos), que todavía no sabemos si son verdaderas o falsas. Sabemos qué teoremas son verdaderos o falsos si aceptamos o rechazamos el axioma de elección. Y también tenemos una prueba de que no podemos probar el axioma de elección (es así: si admites que es verdad, entonces puedes desarrollar una matemática tan potente en la que es falsa, y viceversa).

Pero acéptelo, si admite que 1 + 2 = 4, no hay lugar para la arbitrariedad o contingencia en admitir que 2 + 1 = 4. Es una consecuencia directa de a + b = b + a. Lo que no tiene nada que ver con la veracidad del enunciado 2 + 1 = 4.

Una teoría matemática es totalmente arbitraria y contingente. Eso es lo que hace que la fuerza de las matemáticas y por qué se puede aplicar a todos los campos científicos. Sin embargo, no es arbitrario en una sola declaración. Puede rechazar o aceptar una teoría completa en su conjunto, pero si es verdad, cada afirmación en ella es indiscutiblemente cierta.