Deje g ser una función continua. ¿Cómo calculo los valores de la constante c tal que [matemática] \ displaystyle \ int_ {c} ^ xg (t) dt = 4x ^ {3} -36x? [/ Matemática]

Si tomamos [matemáticas] x = c [/ matemáticas], entonces tenemos

[matemáticas] \ displaystyle \ int_c ^ cg (t) dt = 4c ^ 3-36c \ tag * {} [/ matemáticas]

(Si esa fórmula funciona para todas las x , tiene que funcionar para [math] x = c [/ math]. En este caso, c es solo una opción conveniente). Pero, por supuesto, esta integral (en un intervalo de ancho 0 ) debe evaluar a 0, entonces

[matemática] 4c ^ 3-36c = 0 \ implica 4c (c ^ 2-9) = 0 \ implica 4c (c-3) (c + 3) = 0 \ etiqueta * {} [/ matemática]

Entonces [matemáticas] c \ in \ {- 3,0, 3 \} [/ matemáticas].


Esa es la respuesta corta. También es posible utilizar el teorema fundamental del cálculo para encontrar la fórmula para [math] g (x) [/ math]:

[matemáticas] \ displaystyle g (x) = \ frac {d} {dx} \ left [\ int_c ^ xg (t) dt \ right] = \ frac {d} {dx} \ left [4x ^ 3-36x \ derecha] = 12x ^ 2-36 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

De manera equivalente, [matemáticas] G (x) = 4x ^ 3-36x [/ matemáticas] es una antiderivada de g . Por lo tanto,

[matemáticas] \ displaystyle \ int_c ^ xg (t) dt = G (x) -G (c) = 4x ^ 3-36x-4c ^ 3 + 36c \ tag * {} [/ matemáticas]

El resultado final conduce a la misma observación que antes: [matemáticas] 4c ^ 3-36c = 0 [/ matemáticas].

Deje g ser una función continua. ¿Cómo calculo los valores de la constante c tal que [math] \ displaystyle \ int_c ^ xg (t) dt = 4x ^ 3-36x [/ math]?