Si tomamos [matemáticas] x = c [/ matemáticas], entonces tenemos
[matemáticas] \ displaystyle \ int_c ^ cg (t) dt = 4c ^ 3-36c \ tag * {} [/ matemáticas]
(Si esa fórmula funciona para todas las x , tiene que funcionar para [math] x = c [/ math]. En este caso, c es solo una opción conveniente). Pero, por supuesto, esta integral (en un intervalo de ancho 0 ) debe evaluar a 0, entonces
[matemática] 4c ^ 3-36c = 0 \ implica 4c (c ^ 2-9) = 0 \ implica 4c (c-3) (c + 3) = 0 \ etiqueta * {} [/ matemática]
- ¿Están los matemáticos subestimados y los físicos sobrevalorados por el grupo demográfico más amplio? Si las ciencias fueran una película, ¿serían los físicos los actores glamorosos, mientras que los matemáticos los guionistas brillantes que merecen mucho más crédito?
- ¿Por qué los matemáticos encuentran los nudos tan interesantes?
Entonces [matemáticas] c \ in \ {- 3,0, 3 \} [/ matemáticas].
Esa es la respuesta corta. También es posible utilizar el teorema fundamental del cálculo para encontrar la fórmula para [math] g (x) [/ math]:
[matemáticas] \ displaystyle g (x) = \ frac {d} {dx} \ left [\ int_c ^ xg (t) dt \ right] = \ frac {d} {dx} \ left [4x ^ 3-36x \ derecha] = 12x ^ 2-36 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]
De manera equivalente, [matemáticas] G (x) = 4x ^ 3-36x [/ matemáticas] es una antiderivada de g . Por lo tanto,
[matemáticas] \ displaystyle \ int_c ^ xg (t) dt = G (x) -G (c) = 4x ^ 3-36x-4c ^ 3 + 36c \ tag * {} [/ matemáticas]
El resultado final conduce a la misma observación que antes: [matemáticas] 4c ^ 3-36c = 0 [/ matemáticas].
Deje g ser una función continua. ¿Cómo calculo los valores de la constante c tal que [math] \ displaystyle \ int_c ^ xg (t) dt = 4x ^ 3-36x [/ math]?