¿Cuándo alcanzarán los matemáticos su límite creativo? Es decir, ¿llegará el momento en que los matemáticos pasen toda su vida aprendiendo el cuerpo matemático existente y, por lo tanto, no tengan tiempo para crear nuevas teorías?

No es necesario conocer todas las matemáticas para desarrollar un área en particular. ¡Puedes criar una zanahoria mejor sin conocer toda la biología!

Uno podría concebir la posibilidad de que cualquier punto en la frontera de las matemáticas requiera toda una vida de conocimiento previo. Esto no sucederá en el futuro cercano, y posiblemente nunca en absoluto. La imaginación aplicada a casi cualquier punto del conocimiento matemático existente podría proporcionar una rama completamente nueva de las matemáticas.

Un ejemplo histórico podría ser la geometría. La geometría euclidiana, conocida desde que los griegos (Euclides vivió 323 a. C. – 265 a. C.) tiene un sistema de axioma simple: (Postulados de Euclides)

1. Se puede dibujar un segmento de línea recta uniendo dos puntos cualquiera.

2. Cualquier segmento de línea recta puede extenderse indefinidamente en línea recta.

3. Dado cualquier segmento de línea recta, se puede dibujar un círculo que tenga el segmento como radio y un punto final como centro.

4. Todos los ángulos rectos son congruentes.

5. El postulado paralelo: dada una línea, y un punto que no está en esa línea, existe exactamente una línea a través del punto que no cumple con la línea original.

A principios del siglo XIX, más de 2000 años después, a Gauss y otros matemáticos se les ocurrió sustituir el Axioma 5 con alternativas: a) no existe una línea tan paralela yb) existen varias líneas ‘paralelas’ a través del punto. Y así desarrolló todo el campo de la geometría no euclidiana, tal como se utiliza para comprender el espacio-tiempo relativista.

Hablando formalmente, una nueva rama de las matemáticas se desarrolla a partir de un conjunto de axiomas como estos. Un genio matemático sin ningún conocimiento de las matemáticas existentes podría, en teoría, llegar a un conjunto completamente nuevo de axiomas, con todo un cuerpo de teoremas intrigantes demostrables a partir de ellos. Y lo más probable es que, dentro de una década o dos, se note que la nueva Teoría de Frangolins tiene aplicaciones importantes para el mundo real, tal vez en la teoría de cuerdas o gravitones o materia oscura.

En principio podría suceder. En la práctica, estamos muy lejos de este punto: los estudiantes de doctorado de más de 20 años todavía están produciendo trabajos originales, y luego tienen más de 40 años de investigación por delante si logran obtener trabajos académicos.

Existe un mito común de que las matemáticas son un juego de personas jóvenes, porque las personas mayores pierden las habilidades cognitivas necesarias para proponer nuevas ideas. En realidad, esto es falso: las capacidades cognitivas disminuyen con la edad, pero demasiado lento para ser un problema para los matemáticos de mediana edad (que, después de todo, tienen la ventaja de la experiencia). La razón por la que ves a tantos jóvenes haciendo cosas radicalmente nuevas es en parte una especie de asentamiento intelectual por parte de académicos titulados, pero principalmente es el mercado laboral académico. No es que los jóvenes sean mejores matemáticos, sino que si los matemáticos no pueden hacerse un nombre jóvenes, probablemente no continuarán en la investigación y, por lo tanto, abandonarán la población de ‘matemáticos activos’. La distribución por edades de los matemáticos activos también está muy sesgada por la abundancia de puestos de doctorado y posdoctorales en comparación con los trabajos permanentes. Aquí es donde existe el peligro de que nuestra cultura golpee una pared (al menos en ciertas áreas de las matemáticas): si el tiempo que lleva hacer un doctorado no es suficiente para aprender la literatura existente lo suficientemente bien como para hacer un trabajo original, entonces la gente ganó ‘ Para obtener doctorados en el área (o de todos modos no muy bien considerados), nadie nuevo en esa área es contratado y la población de expertos desaparece lentamente.

Así que creo que la capacidad humana para hacer matemáticas está muy lejos de agotarse, pero una crisis en la cultura académica actual de las matemáticas es posible en el futuro cercano. El proceso podría verse reforzado en gran medida por las presiones de los no matemáticos, algo similar a la forma en que la economía soviética se pudrió gradualmente bajo la planificación central mientras permanecía superficialmente viable hasta finales de los años ochenta. Por ejemplo, las decisiones de contratación / financiación tomadas exclusivamente sobre la base de “métricas” como el factor de impacto y el número de publicaciones podrían conducir a una situación en la que solo sobrevive una fracción de las áreas de investigación activas (las que son susceptibles de producir documentos), un el instinto de pastoreo se hace cargo (es mejor que todos trabajen en cosas similares para que todos puedan citarse entre sí) y la calidad promedio de las nuevas investigaciones cae drásticamente, incluso cuando los burócratas celebran su gran éxito para garantizar que la ‘productividad’ sea más alta que nunca.

Buena pregunta. El proceso de aprendizaje de las matemáticas podría facilitarse si (a) la mayoría de los docentes hubieran alcanzado sus grados al interiorizar el tema en lugar de abarrotarlo; (b) si utilizaron el enfoque de Hemingway para escribir ficción. Las palabras complejas que enviarían al lector a buscarlas en un diccionario siempre fueron reemplazadas por vocabulario simple y sugerente; (3) A partir de cierta edad, se les debía preguntar a los estudiantes a principios de año qué querían sacar de su curso de matemáticas. Luego, el maestro podría fijar las hojas de respuestas en toda la clase y llegar a un consenso general sobre las prioridades.

Huelga decir que el papel del aprendizaje académico es formar una nueva generación de clones matemáticos que puedan reemplazar a los antiguos. Así que aquí también habría que encontrar algún tipo de compromiso.

El enfoque francés del foie gras es el único que es un acto de crueldad tanto con los seres humanos como con los animales. ¿Por qué un estudiante debería querer llenarse la cabeza con fórmulas de trigonometría esférica cuando es padre tiene un restaurante que podría beneficiarse de un modelo Excel que calcula los mejores, más probables y peores ingresos esperados durante las vacaciones, por ejemplo?

Para responder a su pregunta, mientras la enseñanza de las matemáticas solo se imponga desde arriba y se confíe a algunos maestros que ocultan su ignorancia matemática detrás de una avalancha de palabras de moda matemáticas, el tiempo y la energía que quedan para el pensamiento creativo continuarán disminuyendo.

Si bien es cierto que el cuerpo de las matemáticas se está expandiendo constantemente, también se está “comprimiendo” constantemente. Cosas que, hace solo unos años, fueron insoportablemente difíciles de descubrir, reformular y simplificar en cosas que podríamos enseñar relativamente a los investigadores de primer nivel. primeros cursos en posgrado. Cuando ocurre un “avance”, a veces eso significa una expansión realmente grande, pero a veces es una compresión realmente grande. Y a veces es difícil notar la diferencia. =)

Esta tensión entre la expansión y la compresión siempre está en juego, y básicamente gobierna qué tan “grande” es la matemática, no en términos de su poder, sino en términos de cuánto hay para que alguien aprenda.

En resumen: No.

¿Por qué? Pues aquí vamos!

La matemática, como con todas las materias, incluido nosotros mismos, en su núcleo, es en última instancia un estudio y reflejo de la existencia a través de ciertas formas abstractas. Ser creativo en matemáticas es simplemente pensar y soñar en geometrías, lógica, lenguaje elegante; Nunca es algo que pueda ser exagerado o terminado creativamente; es, después de todo, de Totalus, el infinito perfecto, en sí mismo.

Imagine una esfera ilimitada de dimensiones infinitas. Darse cuenta, tenerlo en cuenta, adornado con puntos en forma de retícula triangular;

Toque un punto aquí, allá, conéctelos, mire mientras juega cómo le muestran nuevas posibilidades aún en caminos eternamente presentes;

Contempla la diversión, la diversión, la maravilla, la prisa de construir desde El Mundo a través de este modelo en sus mundos de corazón y mundos más;

Sueña de nuevo y de nuevo lo que ha sido ser y ver.

Eso es lo que es la verdadera creatividad en matemáticas. No es una ruta interminable la memorización de lo que se ha modelado y dicho antes, maravilloso como tal el estudio y la revisión también lo son.

El mundo —la existencia misma y la realidad del mismo— es perfecta, completa y siempre lo ha sido; Y sin embargo, y solo por eso, sus maravillas, sus juegos, sus formas y su euforia por la mente y las mentes nacidas de ella, son inmortales.

Totalus Theory y el juego de esferas que mencioné anteriormente, son mi propia imagen —niños de la mente—, modelos para la Existencia misma. Vienen única y directamente de mí y llegaron esencialmente a sus formas actuales para mi quinto año de vida. Leí hasta hace poco poco en términos de las teorías de otros en matemáticas, filosofía y lingüística, mis propios campos primarios, no porque no los respete o no los respete o no encuentre maravillas y valor en ellos, sino porque estoy ocupado y embelesado con mi propio trabajo. Mi creatividad en matemáticas no depende en lo más mínimo del trabajo de otros. Por lo tanto, mis modelos tienden a ser bastante únicos; Sin embargo, también se alinean mucho con las grandes obras de otros, porque todos estos modelos reflejan la Verdad desde su propia perspectiva.

La excesiva especificación del trabajo en Ciencia y Arte por igual que es tan dogmáticamente empujada en la academia moderna es un grave error, y francamente una locura. La especialidad en sí es una gran cosa, y no hay ningún problema en absoluto, sino todo lo contrario cuando está claramente conectada, en comunión con el todo . Cuando no es así, cuando tienes un millar de especialistas que no pueden comprender la presentación de cada uno de los mismos por razón de la falta de caminos en su isomorfismo oscuramente iluminado, del cual cada uno mira una cara diferente [oye, eso también describe la oscuridad entre dos mentes humanas … sin embargo], entonces tenemos un problema muy serio. Cuando tenemos un establecimiento académico que cada vez falla más en enseñar los hechos generales y elementales antes de la miríada de especificidades, tenemos un problema, un problema grave en todos los campos, un problema que lamentablemente se manifiesta hoy en día con todas estas personas que son al menos como carentes de una verdadera comprensión de las cosas, al menos tan enjauladas e ignorantes, saliendo de sus programas Gymnasia / Prep School / High School, Undergrad, Masters, PhD, Medical, etc., a medida que ingresaban.

La ciencia, la percepción de la Existencia, y el Arte, la ilustración de la misma, pueden ser honrados y descubiertos, jugados y maravillados de infinitas maneras. Nunca agotaremos nuestro ensueño con la Ciencia y el Arte, con la Realidad y la Existencia, con nosotros mismos y con la Totalidad, aun cuando ya sepamos las respuestas finales para todo. Por eso es tan maravilloso serlo. Es por eso que debemos resolver la tendencia académica y social actual de sofocar el trabajo independiente y la filosofía y educación polimática; Es por eso que las matemáticas en sí son un compañero y componente vital de la Mente: porque refleja el infinito y la totalidad de nosotros mismos; Porque nos muestra precisamente por qué el cielo nunca puede ser aburrido, sino todo lo contrario.

Incluso la aritmética es “creativa” en sí misma, y ​​solo podemos rascar su superficie. Pero se puede descubrir que una subramificación de las matemáticas es isomorfa a otra en algún momento posterior, como con la teoría de categorías o la lógica, y las posibles ideas abstractas superiores pueden proporcionar nuevas formas de resumir una gran parte de las matemáticas. Pero el campo es verdaderamente infinito e infinitamente rico. Las computadoras, quizás los cerebros artificiales ayudarán, y las matemáticas del mañana serán muy diferentes, pero las nuevas teorías seguirán apareciendo para siempre.

Nunca.

Hay innumerables tesis doctorales en matemáticas para ser “creadas” como novelas originales.

Los matemáticos universitarios generalmente pasan todo su tiempo poniéndose al día con los conceptos básicos de las matemáticas basadas en pruebas. Antes de eso, habrán resuelto principalmente problemas específicos.

Por definición, un doctorado es una nueva pieza de creación de algo para agregar a cualquier campo. La edad normal para completar estos comienza alrededor de los 25 años, y debido a la naturaleza de la financiación rara vez superará los 30, incluso para alguien que autofinancia sus estudios.

Los matemáticos profesionales trabajan principalmente en entornos académicos y, a veces, incluso envidian la enseñanza. Pero siempre habrá problemas abiertos para resolver, y los matemáticos individuales continuarán intentando resolverlos, a veces con éxito, a veces simplemente proporcionando soluciones parciales para compartir como resultados con otros.

A los fines de esta pregunta, el lenguaje no es una muy buena analogía. La historia, o más bien quizás la geneología, es mejor, y ninguna de las dos es creativa. Pero pasar la vida aprendiendo sobre matemáticas sin hacer nada creativo es como aprender sobre los antepasados ​​de otras personas en lugar de escribir una historia propia.

Se trata de especialización. Un nuevo doctorado es el experto mundial en su campo específico, brevemente.

Ningún matemático sabe todas las matemáticas. Además, cada vez que se hace un nuevo avance, se abren nuevas fronteras. Mire la prueba de Andrew Wiles y Richard Taylor del último teorema de Fermat (FLT). Su prueba solo se aplica a una clase limitada de números (enteros) y probablemente el FLT original no funciona para números complejos. También hay ecuaciones que son más generales que la ecuación de Fermat que no se han explorado suficientemente. Finalmente, la prueba de Andrew Wiles y Richard Taylor del último teorema de Fermat (FLT) es una prueba indirecta que se basa en las consecuencias de otras pruebas. Quizás todavía se encuentre una prueba más simple y más directa.

En teoría de números, ¡siempre hay algo nuevo por descubrir!

Trabajo en un área matemática particularmente complicada que se ocupa de comprender y hacer conexiones precisas entre diferentes entornos de algo llamado el programa Langlands.

El programa Langlands, por derecho propio, describe las interconexiones entre áreas muy diferentes de las matemáticas. En esencia, el programa intenta proporcionar diccionarios entre tipos de datos matemáticos aparentemente dispares, y muchos de estos diccionarios han sido probados, todo esto es muy profundo. Aquí, como puede ver, hay múltiples capas de complejidad ya que este tipo de diccionarios se presentan de muchas formas diferentes. Mi trabajo consiste en tratar de hacer una analogía precisa, señalada por mi asesor y sus colaboradores, entre dos formas diferentes de estos diccionarios, las denominadas correspondencias de Langlands.

Como puede ver, mi investigación trabaja sobre una red masiva de estructura matemática y para hacer una contribución significativa aquí, uno tiene que dar sentido a estas cosas. Como estudiante de posgrado, esta no es una situación ideal, ya que se espera que publiquemos y escribamos una disertación dentro de un plazo razonable. Pero como no soy un estudiante de posgrado, creo que las matemáticas modernas, por ejemplo, categorías superiores, realmente se trata de manejar este tipo de situaciones y tratar de realizar conceptos, como por ejemplo la funcionalidad, de manera precisa y lo suficientemente buena como para escribirlos y formular argumentos utilizando la estructura. ilumina Para citar a Newton: “Si he visto más, es poniéndome de pie sobre los hombros de Gigantes”.

Ya nadie está aprendiendo todo el cuerpo de las matemáticas. Esto ya no es factible durante al menos un siglo.

Pero la verdadera pregunta es cuánto tiempo lleva ser productivo en un campo matemático. En algunos campos (por ejemplo, geometría algebraica, teoría de números, etc.), el tiempo para aprender parece ser muy grande y sí, esto hace que crear nuevas teorías sea más problemático.

Pero no todos los campos son así y para algunos solo se necesitan unos pocos meses de trabajo para estar activos.

No puedo ver que esto suceda en el futuro cercano. Puedo prever que se especialice en ciertas áreas. En nuestra universidad, en la Universidad Eotvos Lorand en Budapest, Hungría, sucedió hace unos 65 años. Los estudiantes aprendieron todo, pero los profesores se especializaron en Álgebra (Fuchs), Geometría (Hajos) Estadística y Análisis de Probabilidad (Renyi) (Szasz, Riesz y Fejer). Algunos de esos nombres son mundialmente famosos. Eso es porque crearon nuevas teorías.

Los matemáticos son personas muy especiales. Mis años universitarios fueron algunos de los más felices de mi vida. Mientras escribía esta respuesta, un evento vino a mi mente, no puedo resistirme a escribirlo. Viajaba en un tranvía lleno. Cerca de mí estaba sentada una de las profesoras, el Dr. Riesz, y una joven profesora asistente, una mujer, la Sra. Horwath. Ella le dijo al profesor: “Entiendo que hoy debiste haber tenido un día horrible. ¡Me dijeron que había 70 estudiantes haciendo exámenes! ¿Cómo podrías arreglártelas?

El profesor respondió: “No es tan difícil como parece. Les hice una pregunta a cada uno. Si supieran la respuesta, obtendrían una excelente. Y si no supieran la respuesta … ”

En este punto, el tranvía se volvió muy silencioso. Todos querían escuchar lo que les sucedió a los estudiantes que no pudieron responder la pregunta del examen.

El profesor continuó: “ese caso obtuvo una nota aprobada”.

Ningún matemático en existencia, que yo sepa, conoce completamente el cuerpo matemático existente.

Como con cualquier campo maduro, los expertos en él se vuelven cada vez más especializados. Un geómetra diferencial podría no entender de qué está hablando un geómetra aritmético, a pesar de que ambos están familiarizados con los conceptos básicos de la geometría moderna, y ambos podrían saber de qué demonios está hablando un teórico de números algebraicos. Sin embargo, probablemente sabrán suficientes matemáticas para poder apreciar de qué están hablando los demás, después de una discusión prolongada.

Eso no quiere decir que no haya, o no pueda haber, matemáticos lo suficientemente versados ​​en cada subcampo como para decir cosas no triviales al respecto, pero así como uno no sobresale en este mundo al aprender todos los oficios íntimamente antes Al contribuir de manera útil a la sociedad, uno no puede aprender todos los subcampos íntimamente y no puede aprenderlos antes de pasar a algo más especializado. De hecho, leí en alguna parte que el conocimiento matemático crece exponencialmente (aunque en este momento no puedo corroborarlo), por lo que intentar aprender todas las matemáticas sería un ejercicio inútil.

Vale la pena señalar que, a medida que las matemáticas se vuelven más vastas a medida que pasa el tiempo, también suceden varias otras cosas, todo lo cual facilita el aprendizaje de las matemáticas en la vida:

  1. La pedagogía mejora. Con una mejor enseñanza, se pueden adaptar más cosas en menos tiempo.
  2. La inteligencia mejora, en general. Ver también: el efecto Flynn. [Puede deberse en parte al primer punto.]
  3. La vida útil (y, lo que es más importante, la porción “útil” de la misma) se extiende. Quizás no por mucho, una vez que descuidas la mortalidad infantil, pero de todos modos.
  4. Mejora el nivel general de riqueza y la calidad de vida. Esto significa que no tenemos que gastar nuestro tiempo tanto (vs., por ejemplo, históricamente, cuando solo las personas acomodadas podían darse el lujo de preocuparse realmente por las matemáticas).
  5. La tecnología mejora. Esto puede sonar ortogonal, pero si obtenemos las interfaces mente-cuerpo al nivel que Elon Musk sueña con ellas, quién sabe de lo que seremos capaces.

Podría decirse que, en el pasado, ha sido el primer cuarto de estos que ha causado que las matemáticas no alcancen las restricciones humanas todavía. En el corto plazo, espero que esto continúe, permitiendo que las matemáticas se fracturen en subcampos menos de lo que de otra manera podría.

En el mediano a largo plazo (dependiendo de cuán optimista seas), espero que el último punto: la tecnología, la fusión de la mente con la inteligencia artificial y el aumento de la computadora (por no mencionar la inmortalidad práctica o la inteligencia artificial completa) surjan antes los matemáticos se topan con la barrera que mencionas.


Como aspecto técnico aparte, un modelo matemático simple ilustra que su problema podría no existir técnicamente, teóricamente en primer lugar.

Esto se debe a que si hace una suposición natural sobre el progreso matemático (que hay un límite, L, correspondiente a cuando las personas han aprendido todo lo que pueden en la vida, y que, cerca de ese límite, el progreso matemático se realiza a un ritmo proporcional al distancia desde ese límite), luego cerca te acercas exponencialmente, pero no alcanzas, ese límite. [[math] \ frac {dK} {dt} = C (LK) [/ math] se acerca asintóticamente [math] K = L [/ math] desde abajo.] Además, cerca de ese punto, suponiendo suavidad, este orden principal ¡La corrección determina el comportamiento cualitativo, independientemente del modelo específico!

[Ahora, en la práctica, tenemos que agregar un término estocástico para permitir genios … pero en espíritu, al menos, mi punto es válido, porque una vez que se agregan términos estocásticos, todavía, trivialmente, siempre es posible hacer al menos un progreso marginal .]

Estamos muy cerca. Los matemáticos exploran los subcampos de las matemáticas porque no pueden entenderlo todo sin mucho esfuerzo. Echan un vistazo a muchos campos, deciden uno para explorar más, echan un vistazo a los subcampos, deciden uno para explorar más …

Llegaremos a un momento en que incluso tener una idea de lo que se hace será imposible en la vida (la mayoría de las matemáticas hicieron su trabajo más importante alrededor de los 25, 26 años, la edad normal para terminar un doctorado, pero supongamos que eso no sucede). t aplicar).

Por eso tenemos computadoras. Como en muchos campos del conocimiento, los humanos y las máquinas deben trabajar juntos para explorar los nuevos límites de la ciencia.

¡El día que tenemos El Libro al que Paul Erd se refirió en su lenguaje idiosincrásico!

Si hace su pregunta, también debe hacer lo mismo a artistas, músicos, comediantes, …

Espero que entiendan que las matemáticas son tanto arte y creatividad como lo son para la ciencia y los resultados. (¡Y hasta esos tienen elementos de arte en ellos!)