¿Cuál es la solución para la ecuación diferencial de primer orden [matemáticas] (x ^ 2 + 1) \ dfrac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} + 4xy = x [/ math]?

Answer 1

Aparte de la respuesta de Mateusz Szymański (señalando que este DE es separable), podemos notar que podemos reescribir como [math] y ‘+ P (x) y = Q (x) [/ math] (la forma para un DE lineal general ):

[matemática] y ‘+ \ frac {4x} {x ^ 2 + 1} y = \ frac {x} {x ^ 2 + 1} \ tag * {} [/ matemática]

La solución para tales ecuaciones se puede encontrar en cualquier libro de texto DE:

[matemáticas] y = \ dfrac {\ int \ mu (x) Q (x) \, dx + C} {\ mu (x)} \ tag * {} [/ matemáticas]

donde [math] \ mu (x) = \ exp \ left (\ int P (x) \, dx \ right) [/ math] es el factor integrador (que, cuando se multiplica por el DE original, lo hace exacto). En este caso:

[matemáticas] \ mu (x) = \ exp \ left (2 \ ln (x ^ 2 + 1) \ right) = (x ^ 2 + 1) ^ 2 \ tag * {} [/ math]

entonces

[matemáticas] y = \ dfrac {\ int x (x ^ 2 + 1) \, dx} {(x ^ 2 + 1) ^ 2} = \ dfrac {\ frac14x ^ 4 + \ frac12x ^ 2 + C} { (x ^ 2 + 1) ^ 2} = \ dfrac {x ^ 4 + 2x ^ 2 + C_1} {4 (x ^ 2 + 1) ^ 2} \ tag * {} [/ math]

Nota adicional: También podemos usar métodos numéricos, produciendo gráficos como este (que concuerdan con las soluciones analíticas dadas anteriormente):

¿Cuál es la solución a la ecuación diferencial de primer orden [matemática] (x ^ 2 + 1) dy / dx + 4xy = x [/ matemática] ?

Answer 2

Esto se puede resolver utilizando un factor integrador. Primero, reorganizamos la ecuación para llevarla a la forma estándar.

[matemáticas] \ frac {dx} {dy} + \ frac {4x} {x ^ 2 + 1} y = \ frac {x} {x ^ 2 + 1} [/ matemáticas]

Luego calculamos el factor integrador [math] u [/ math]

[matemáticas] u = e ^ {\ int \ frac {4x} {x ^ 2 + 1} dx} = (x ^ 2 + 1) ^ 2 [/ matemáticas]

De esto podemos expresar la solución [math] y [/ math] como

[matemáticas] y = \ frac {1} {u} \ int uq dx [/ matemáticas]

[matemáticas] y = \ frac {1} {(x ^ 2 + 1) ^ 2} \ int (x ^ 2 + 1) ^ 2 \ frac {x} {x ^ 2 + 1} dx [/ matemáticas]

Te dejaré el paso final a ti.

Answer 3

Podemos transformar la ecuación en una forma más conveniente:

[matemática] (x ^ 2 + 1) y ‘= x-4xy [/ matemática] que es [matemática] (x ^ 2 + 1) y’ = x (1-4y) [/ matemática].

Puede separar las variables (si no sabe qué significa, le sugiero que regrese; es uno de los primeros métodos para resolver ecuaciones diferenciales):

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {y ‘} {1–4y} = \ frac {x} {x ^ 2 + 1} [/ matemáticas]

Podemos integrar ambos lados de la ecuación (¿por qué?):

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {\ mbox {d} y} {1–4y} = \ int \ frac {x} {x ^ 2 + 1} \ mbox {d} x [/ math]

Para resolver esta ecuación solo necesitas evaluar las integrales. ¡No olvides la constante de integración!

Aquí están las posibles formas cerradas de la respuesta:

[matemáticas] y = \ displaystyle \ frac {1} {4} – \ frac {c_1} {(1 + x ^ 2) ^ 2} = \ frac {\ frac {1} {4} (2x ^ 2 + x ^ 4) + c_2} {(1 + x ^ 2) ^ 2} [/ matemáticas].

Answer 4

[matemáticas] \ begin {align *} (x ^ {2} +1) \ dfrac {dy} {dx} + 4xy & = x \\ (x ^ {2} +1) \ dfrac {dy} {dx} & = x (1–4y) \\ \ dfrac {1} {1–4y} \ dfrac {dy} {dx} & = \ dfrac {x} {x ^ {2} +1} \\ & = \ dfrac {1} {2} \ dfrac {2x} {x ^ {2} +1} \ end {align *} [/ math]

Variables separadas para obtener

[matemáticas] \ begin {align *} \ int \ dfrac {1} {1–4y} dy & = \ dfrac {1} {2} \ int \ dfrac {2x} {x ^ {2} +1} dx \ \ – \ dfrac {1} {4} \ ln (1–4y) & = \ dfrac {1} {2} \ ln (x ^ {2} +1) + c \\ \ ln (1–4y) & = -2 \ ln (x ^ {2} +1) -4c \\ & = -2 \ ln (x ^ {2} +1) + \ ln e ^ {- 4c} \\ & = \ ln \ left (\ dfrac {e ^ {- 4c}} {(x ^ {2} +1) ^ {2}} \ right) \ tag {1} \ end {align *} [/ math]

De (1) con [matemáticas] A = e ^ {- 4c} [/ matemáticas] tenemos

[matemáticas] 4y-1 = – \ dfrac {A} {(x ^ {2} +1) ^ {2}} [/ matemáticas]

o

[matemáticas] y = \ dfrac {1} {4} \ left (1- \ dfrac {A} {(x ^ {2} +1) ^ {2}} \ right) \ tag {2} [/ math]

Answer 5

[matemáticas] y = uv [/ matemáticas]

[matemáticas] (x ^ 2 + 1) \ dfrac {d (uv)} {dx} + 4xuv = x [/ matemáticas]

[matemáticas] (x ^ 2 + 1) u \ dfrac {dv} {dx} + (x ^ 2 + 1) v \ dfrac {du} {dx} + 4xuv = x [/ matemáticas]

[matemáticas] (x ^ 2 + 1) u \ dfrac {dv} {dx} + v ((x ^ 2 + 1) \ dfrac {du} {dx} + 4xu) = x [/ matemáticas]

let [matemáticas] (x ^ 2 + 1) \ dfrac {du} {dx} + 4xu = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x ^ 2 + 1) \ dfrac {du} {dx} = – 4xu [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {du} {u} = – \ dfrac {4x} {x ^ 2 + 1} \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int \ dfrac {du} {u} = – \ int \ dfrac {4x} {x ^ 2 + 1} \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln u = – \ int \ dfrac {4x} {x ^ 2 + 1} \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 + 1 = t [/ matemáticas]

[matemáticas] 2x \, dx = dt [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln u = – \ int \ dfrac {2} {t} \, dt [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln u = -2 \ ln t [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln u = -2 \ ln (x ^ 2 + 1) + C [/ matemáticas]

[matemáticas] u = e ^ {\ ln \ dfrac {1} {(x ^ 2 + 1) ^ 2} + C} [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ C = c [/ matemáticas]

[matemáticas] u = ce ^ {\ ln \ dfrac {1} {(x ^ 2 + 1) ^ 2}} = \ dfrac {c} {(x ^ 2 + 1) ^ 2} [/ matemáticas]

ecuación original:

[matemáticas] (x ^ 2 + 1) u \ dfrac {dv} {dx} + v ((x ^ 2 + 1) \ dfrac {du} {dx} + 4xu) = x [/ matemáticas]

desde [matemáticas] (x ^ 2 + 1) \ dfrac {du} {dx} + 4xu = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x ^ 2 + 1) u \ dfrac {dv} {dx} = x [/ matemáticas]

[matemáticas] (x ^ 2 + 1) \ dfrac {c} {(x ^ 2 + 1) ^ 2} \ dfrac {dv} {dx} = x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {c} {x ^ 2 + 1} \ dfrac {dv} {dx} = x [/ matemáticas]

[matemáticas] c \, dv = x (x ^ 2 + 1) \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int c \, dv = \ int x ^ 3 + x \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] cv = \ dfrac {x ^ 4} {4} + \ dfrac {x ^ 2} {2} + c_2 [/ matemáticas]

[matemáticas] v = \ dfrac {\ dfrac {x ^ 4} {4} + \ dfrac {x ^ 2} {2} + c_2} {c} [/ matemáticas]

[matemáticas] y = uv = \ dfrac {c} {(x ^ 2 + 1) ^ 2} \ cdot \ dfrac {\ dfrac {x ^ 4} {4} + \ dfrac {x ^ 2} {2} + c_2} {c} [/ math]

[matemáticas] y = \ dfrac {\ dfrac {x ^ 4} {4} + \ dfrac {x ^ 2} {2} + c_2} {(x ^ 2 + 1) ^ 2} [/ matemáticas]

Answer 6

Usé el método de factores de integración (es una buena ecuación)