En el espacio euclidiano, un producto de puntos es lo mismo que un producto escalar que es lo mismo que un producto interno. Se llama un producto escalar porque los escalares son lo que sale.
Un producto escalar (o producto interno) toma dos elementos de un espacio vectorial y devuelve un elemento de un espacio escalar
[matemáticas] X [/ matemáticas] es un espacio vectorial
[matemáticas] F [/ matemáticas] es un espacio escalar
[matemáticas] \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle: X ^ 2 \ rightarrow F [/ matemáticas]
Con las propiedades
- Los productos internos de los objetos con ellos mismos son el cuadrado de la norma, que siempre es positivo, excepto el objeto cero, que es el único objeto con norma cero.
- [matemáticas] \ langle u, u \ rangle = \ | u \ | ^ 2 \ ge 0 [/ matemáticas]
- [matemáticas] \ langle u, u \ rangle = \ | u \ | ^ 2 = 0 \ Leftrightarrow u = \ vec {0} [/ math]
- Multiplicar el vector adentro por un factor escalar
- [matemáticas] \ langle \ alpha u, v \ rangle = \ alpha \ langle u, v \ rangle [/ math]
- Es simétrico (o conjugado complejo simétrico)
- [matemáticas] \ langle u, v \ rangle = \ overline {\ langle v, u \ rangle} [/ math]
Un producto escalar es el producto escalar asociado con el espacio euclidiano. Se define resumiendo los productos de los coeficientes correspondientes
[matemáticas] \ vec {u} \ cdot \ vec {v} = \ sum_j u_j \ overline {v_j} [/ matemáticas]
Efectivamente, cuando verifica que es un producto escalar
- [matemáticas] u \ cdot u = \ sum_j u_j ^ 2 = \ | u \ | ^ 2 \ ge 0 [/ matemáticas]
- [matemáticas] u \ cdot u = \ | u \ | ^ 2 = 0 \ Leftrightarrow u = \ vec {0} [/ math]
- [matemáticas] (\ alpha u) \ cdot v = \ sum_j \ alpha u_j \ overline {v_j} = \ alpha \ sum_j u_j \ overline {v_j} = \ alpha (u \ cdot v) [/ math]
- [matemáticas] u \ cdot v = \ sum_j u_j \ overline {v_j} = \ sum_j \ overline {v_j} u_j = \ overline {v \ cdot u} [/ math]
Hay otros productos escalares. En el análisis de Fourier, por ejemplo, está trabajando con espacios de funciones.
[matemáticas] \ langle f, g \ rangle = \ int_0 ^ {2 \ pi} f (x) \ overline {g (x)} dx [/ math]
Con este producto interno podemos dividir una función periódica en todas sus piezas. Por lo general, senos y cosenos, o funciones exponenciales.
Un espacio vectorial que tiene un producto interno se llama espacio interno del producto. Si también está completo, se llama espacio de Hilbert. Estos espacios son muy importantes en el análisis matemático y la mecánica cuántica.