Una forma de ver el producto punto que encuentro (a veces) útil es que es una combinación lineal generalizada (o promedio ponderado).
Considere el producto de punto más simple (no trivial): deje que [math] x, y \ in \ mathbb {R} ^ {n} [/ math] y denote [math] x \ cdot y [/ math] su producto de punto. Luego, por definición de producto punto,
[matemáticas] x \ cdot y = x_ {1} y_ {1} +… + x_ {n} y_ {n} = \ sum_ {i = 1} ^ {n} x_ {i} y_ {i} [/ matemáticas ]
Ahora imagine que [math] x ^ {T} = (\ alpha_ {1}, …, \ alpha_ {n}) [/ math] (donde [math] x ^ {T} [/ math] denota la transposición del vector [matemáticas] x [/ matemáticas]). Entonces [math] x \ cdot y = \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ alpha_ {i} y_ {i} [/ math]. En cuanto a la dimensión, este es un escalar. Esto seguramente parece una combinación lineal en notación bastante estándar (el uso de alfa es un cambio de notación puramente cosmético para que pueda verlo mejor), ¿no?
Esto sigue siendo algo intuitivo cuando tiene [math] x \ cdot A [/ math], con [math] x \ in \ mathbb {R} ^ {n}, A \ in Mat_ {n \ times m} [/ math ] Solo tiene que seguir pensando en [math] x [/ math] como un vector de pesos arbitrarios, de modo que [math] x \ cdot A [/ math] es un vector cuyos componentes son combinaciones lineales de los vectores de columna de [math] ] A [/ matemáticas]. Para generalizar esto aún más a [math] A \ cdot B, A, B \ en Mat_ {n \ times m} [/ math] solo necesita creerlo lo suficiente y mirar la fórmula para la multiplicación de matrices para detectar el patrón lineal de combinación.
