¿Cuál es una forma intuitiva de entender el producto escalar en el contexto de la multiplicación de matrices?

Una forma de ver el producto punto que encuentro (a veces) útil es que es una combinación lineal generalizada (o promedio ponderado).

Considere el producto de punto más simple (no trivial): deje que [math] x, y \ in \ mathbb {R} ^ {n} [/ math] y denote [math] x \ cdot y [/ math] su producto de punto. Luego, por definición de producto punto,

[matemáticas] x \ cdot y = x_ {1} y_ {1} +… + x_ {n} y_ {n} = \ sum_ {i = 1} ^ {n} x_ {i} y_ {i} [/ matemáticas ]

Ahora imagine que [math] x ^ {T} = (\ alpha_ {1}, …, \ alpha_ {n}) [/ math] (donde [math] x ^ {T} [/ math] denota la transposición del vector [matemáticas] x [/ matemáticas]). Entonces [math] x \ cdot y = \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ alpha_ {i} y_ {i} [/ math]. En cuanto a la dimensión, este es un escalar. Esto seguramente parece una combinación lineal en notación bastante estándar (el uso de alfa es un cambio de notación puramente cosmético para que pueda verlo mejor), ¿no?

Esto sigue siendo algo intuitivo cuando tiene [math] x \ cdot A [/ math], con [math] x \ in \ mathbb {R} ^ {n}, A \ in Mat_ {n \ times m} [/ math ] Solo tiene que seguir pensando en [math] x [/ math] como un vector de pesos arbitrarios, de modo que [math] x \ cdot A [/ math] es un vector cuyos componentes son combinaciones lineales de los vectores de columna de [math] ] A [/ matemáticas]. Para generalizar esto aún más a [math] A \ cdot B, A, B \ en Mat_ {n \ times m} [/ math] solo necesita creerlo lo suficiente y mirar la fórmula para la multiplicación de matrices para detectar el patrón lineal de combinación.

La multiplicación de matrices es una serie de productos de puntos.

Es decir, si tiene una matriz [matemática] n \ veces n [/ matemática], puede considerarse como 3 vectores de columna o 3 vectores de fila.

Sean M y N dos matrices.

Deje [math] P = MN [/ math].

Entonces,

[matemática] P_ {ij} = \ vec {M _ {\ textrm {fila} _i}} \ cdot \ vec {N _ {\ textrm {columna} _j}} [/ matemática]

donde voy de arriba a abajo, y j va de izquierda a derecha.

En este sentido, otra palabra para la multiplicación de matrices es la proyección del subespacio definido por los vectores de fila de M en el subespacio definido por los vectores de columna de N.

Si multiplica una matriz (1 xn) por una matriz (nx 1), terminará con un producto de puntos de los vectores correspondientes. Alternativamente, si tiene dos vectores de fila v y w, entonces su producto punto es

v (transposición de w).

A2A, gracias.

El primer paso es dejar de pensar en matrices.

El producto punto es un ejemplo de un producto interno que proporciona el espacio vectorial con la estructura de un espacio interno del producto: Wikipedia. Un producto interno mide la “cantidad de paralelismo firmado” entre dos vectores.

Una vez que haya comprendido el concepto, verá cómo alinear las matrices para el cálculo.

Gracias por el A2A …

Eche un vistazo al Capítulo 15 – Es Space Jim … de mi [inacabado :-(] Libro de teoría de grupo Vislumbres de simetría y desplácese hacia abajo hasta la sección titulada Ser productivo, que cubre tanto los productos de punto como los cruzados.

Esto también explica la relación entre las versiones geométricas y algebraicas del producto escalar.

Espero que ayude.