Los vectores como se entiende en matrices (y estoy interpretando que significa “espacios vectoriales lineales de dimensión finita) son generalizaciones de los vectores utilizados en algunas formulaciones de la mecánica clásica.
Específicamente, los vectores de física para cosas como desplazamiento, velocidad, fuerza, momento, etc. (pero no momento angular o par, son sutilmente diferentes) son esencialmente combinaciones de dirección y magnitud, junto con una regla para sumarlos y multiplicarlos por Un factor de escala no direccional.
El álgebra lineal generaliza esto para definir un espacio vectorial como:
- Un grupo abeliano de “Vectores” [matemáticas] (V, +) [/ matemáticas]
- Un campo de “Escalares” [matemática] (F, +, \ cdot) [/ matemática]
- Una regla de “multiplicación escalar” [matemáticas] \ cdot: F \ cdot V \ to V [/ math] que
- distribuye sobre la operación de adición de campo
- distribuye sobre la operación de suma de vectores
Es fácil verificar que puede agregar desplazamientos para obtener un grupo abeliano, que los factores de escala que usamos forman un campo y que los vectores de escala se distribuyen en la propiedad de dos operadores de adición como se esperaba.
- ¿Cuál es una forma intuitiva de entender el producto escalar en el contexto de la multiplicación de matrices?
- ¿Por qué un producto punto también se llama producto escalar con un ejemplo?
El álgebra lineal opcionalmente le permite definir un “producto interno” en pares de vectores, o muchos “productos internos” diferentes. El “producto puntual” en física es un ejemplo de un posible producto interno. En algunas álgebras lineales, puede definir otro tipo de producto llamado “soporte de mentira”. En física, el soporte de Lie en el espacio tridimensional se llama “Producto cruzado”. El producto cruzado tal como lo aprende en física solo existe en 3 dimensiones, mientras que los corchetes de Lie pueden existir en circunstancias más generales.
El álgebra lineal tiene como principal preocupación el concepto de “transformaciones lineales”, que son funciones entre espacios vectoriales que preservan el concepto de linealidad: [matemáticas] L (a \ vec {a} + b \ vec {b}) = aL ( \ vec {a}) + bL (\ vec {b}) [/ math]. Cuando se trata de espacios vectoriales de dimensiones finitas, las transformaciones lineales pueden representarse mediante matrices, y la suma y multiplicación de matrices corresponde a sumar y componer transformaciones lineales. En física, las transformaciones lineales típicas pueden incluir rotaciones, escalas, inversiones y proyecciones.
Pero como se sugiere, el álgebra lineal es una generalización de los vectores originalmente diseñados para mecánica por Gibbs y Heaviside.
Por ejemplo, las técnicas de álgebra lineal son perfectas para trabajar con ecuaciones diferenciales: la diferenciación es una transformación lineal en el espacio vectorial de funciones diferenciables, que son importantes para resolver muchos problemas en física. Los estados permitidos de un sistema cuántico forman un espacio vectorial, potencialmente infinitamente dimensional, sobre el campo de los números complejos. Y así.