Si dos conjuntos de bases abarcan el mismo espacio vectorial, ¿decimos que su subespacio es el mismo o son diferentes?

No , no es necesario que el subespacio sea el mismo.

Pueden ser iguales pero no es necesario: también pueden ser diferentes.

Puedo probar esto con un ejemplo muy simple.

Deje que [math] e_1 [/ math] y [math] e_2 [/ math] sean dos vectores que forman una base.

Luego, deje que [math] 2 [/ math] [math] e_1 [/ math] y [math] 2e [/ math] [math] _2 [/ math] sean otros dos vectores que forman una base.

Entonces, uno de los subespacios de la primera base es [math] e_1 [/ math] que es el eje x;

Por otro lado, deje que el subespacio sea [matemática] 2e_2 [/ matemática], [matemática] [/ matemática] que es el eje y.

Entonces estos dos subespacios son diferentes.

Sin embargo, si elige que el subespacio de la otra base sea [math] 2e_1 [/ math], entonces son iguales.

Además, si está preguntando por todos los subespacios, entonces sí, para cada subespacio formado a partir del uso de los vectores en primera base, también se puede obtener el mismo subespacio usando vectores de la otra base.

Si dos conjuntos de bases abarcan el mismo espacio vectorial, ¿decimos que su subespacio es el mismo o son diferentes?

En las aplicaciones más importantes del álgebra lineal, los espacios vectoriales se producen como subespacios de espacios más grandes.

Cada subespacio tiene su propio conjunto de vectores de base, por lo que es posible que cada subespacio sea diferente de otro subespacio.

Sin embargo, la pregunta especifica que ambos conjuntos de vectores base abarcan el mismo espacio vectorial , lo que significa que los dos subespacios son iguales. En otras palabras, cualquier vector en el espacio vectorial común puede representarse con cualquiera de los dos vectores básicos.

A2A, gracias.

¿A qué subespacio nos estamos refiriendo?

Si dos conjuntos diferentes de vectores tienen la misma extensión lineal: Wikipedia, entonces eso es lo que decimos: tienen la misma extensión lineal.