No , no es necesario que el subespacio sea el mismo.
Pueden ser iguales pero no es necesario: también pueden ser diferentes.
Puedo probar esto con un ejemplo muy simple.
Deje que [math] e_1 [/ math] y [math] e_2 [/ math] sean dos vectores que forman una base.
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Luego, deje que [math] 2 [/ math] [math] e_1 [/ math] y [math] 2e [/ math] [math] _2 [/ math] sean otros dos vectores que forman una base.
Entonces, uno de los subespacios de la primera base es [math] e_1 [/ math] que es el eje x;
Por otro lado, deje que el subespacio sea [matemática] 2e_2 [/ matemática], [matemática] [/ matemática] que es el eje y.
Entonces estos dos subespacios son diferentes.
Sin embargo, si elige que el subespacio de la otra base sea [math] 2e_1 [/ math], entonces son iguales.
Además, si está preguntando por todos los subespacios, entonces sí, para cada subespacio formado a partir del uso de los vectores en primera base, también se puede obtener el mismo subespacio usando vectores de la otra base.