Deseamos resolver
[matemáticas] a + b = ab = a ^ {2} -b ^ {2} \ tag {1} [/ matemáticas]
Esto es interesante porque tenemos dos incógnitas y tres ecuaciones. Comencemos notando que desde la primera y segunda parte de (1), estamos buscando números cuya suma sea su producto. Ahora, por supuesto, la suma y el producto de un par de números surge en el estudio de ecuaciones cuadráticas. Claramente podríamos formar una ecuación basada solo en esta información, esto puede parecer artificial en algún sentido, pero exploremos esto
[matemáticas] \ begin {align *} (\ lambda-a) (\ lambda-b) & = 0 \\ \ lambda ^ {2} – (a + b) \ lambda + ab & = 0 \ tag {2} \ end {align *} [/ math]
Ahora usando (2) con nuestra observación anterior tenemos lo siguiente
[matemáticas] \ lambda ^ {2} -ab \ lambda + ab = 0 \ tag {3} [/ matemáticas]
Resolviendo (3) de manera estándar tenemos
[matemáticas] \ lambda = \ frac {ab \ pm \ sqrt {ab (ab-4)}} {2} \ tag {4} [/ matemáticas]
De la formulación de la ecuación en (2) sabemos que sus raíces son ay b. En aras de la discusión podemos escribir (de cualquier manera está bien)
[matemáticas] a = \ frac {ab + \ sqrt {ab (ab-4)}} {2} \ tag {5} [/ matemáticas]
y
[matemáticas] b = \ frac {ab – \ sqrt {ab (ab-4)}} {2} \ tag {6} [/ matemáticas]
Las ecuaciones (5) y (6) son de interés porque expresan la solución a (1) en términos del producto [math] ab [/ math]. Sé lo que estás pensando, eso realmente no ayuda porque [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] no están explícitamente en términos de números, y peor aún son en términos de [matemática] a [/ math] y [math] b [/ math]! Sin embargo, todavía tenemos que mirar la tercera parte de la ecuación (1). De (5)
[matemáticas] 4a ^ {2} = (ab) ^ {2} + 2ab \ sqrt {ab (ab-4)} + ab (ab-4) \ tag {7} [/ matemáticas]
De (6)
[matemáticas] 4b ^ {2} = (ab) ^ {2} -2ab \ sqrt {ab (ab-4)} + ab (ab-4) \ tag {8} [/ matemáticas]
Resta (8) de (7) y simplifica para obtener
[matemáticas] \ begin {align *} a ^ {2} -b ^ {2} & = ab \ sqrt {ab (ab-4)} \\ ab & = ab \ sqrt {ab (ab-4)} \ etiqueta {9} \ end {align *} [/ math]
La ecuación (9) es de gran interés porque nos dice cuáles son los productos válidos, y esto usando (5) y (6) nos permite encontrar [matemática] [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] explícitamente. De (9) tenemos las posibilidades
[matemáticas] ab = 0 \ etiqueta {10} [/ matemáticas]
y
[matemáticas] (ab) ^ {2} -4ab-1 = 0 \ implica ab = 2 \ pm \ sqrt {5} \ tag {11} [/ matemáticas]
De (10) con (5) y (6) obtenemos
[matemáticas] a = b = 0 \ etiqueta {12} [/ matemáticas]
De (11), si [math] ab = 2 + \ sqrt {5} [/ math], entonces (5) y (6) dan
[matemáticas] a = \ frac {3+ \ sqrt {5}} {2} \ mbox {con} b = \ frac {1+ \ sqrt {5}} {2} \ tag {13} [/ matemáticas]
De (11), si [math] ab = 2- \ sqrt {5} [/ math], entonces (5) y (6) dan
[matemáticas] a = \ frac {3- \ sqrt {5}} {2} \ mbox {con} b = \ frac {1- \ sqrt {5}} {2} \ tag {13} [/ matemáticas]
