Cómo mostrar que [math] | z_1 + z_2 + z_3 + \ cdots + z_7 | \ leq | z_1 | + | z_2 | + | z_3 | + \ cdots + | z_7 | [/ math]

Answer 1

[matemática] \ def \ Re {\ textrm {Re}} \ def \ Im {\ textrm {Im}} [/ math] Esa es la desigualdad del triángulo aplicada seis veces. Vamos a mostrarlo una vez.

Supongo que por [math] z [/ math] s estos son números complejos. La desigualdad aún se mantiene.

Primero muestremos para complejos [matemática] z = a + bi, w = c + di, [/ matemática] con [matemática] a, b, c, d [/ matemática] real,

[matemáticas] | z | + | w | \ ge | z + w | [/matemáticas]

Ejecutaré la prueba al revés de la forma en que la deriva.

[matemáticas] (ad-bc) ^ 2 \ ge 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 2 d ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2 \ ge 2 abcd [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 d ^ 2 + a ^ 2 d ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2 \ ge a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 d ^ 2 + 2 abcd [/ matemáticas]

[matemáticas] (a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) \ ge (ac + bd) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] | a + bi | ^ 2 | c + di | ^ 2 \ ge (\ Re ((a + bi) (c-di))) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] | z | ^ 2 | w | ^ 2 \ ge (\ Re (zw ^ *)) ^ 2 [/ matemáticas]

Las magnitudes de la izquierda no son negativas. La parte real en el lado derecho puede o no ser. Entonces podemos soltar los cuadrados y mantener la desigualdad.

[matemáticas] | z || w | \ ge \ Re (zw ^ *) [/ math]

[matemáticas] | z || w | \ ge \ frac 1 2 (zw ^ * + z ^ * w) [/ math]

[matemáticas] | z | ^ 2 + | w | ^ 2 + 2 | z || w | \ ge | z | ^ 2 + | w | ^ 2 + (zw ^ * + z ^ * w) [/ matemáticas]

[matemáticas] (| z | + | w |) ^ 2 \ ge zz ^ * + ww ^ * + (zw ^ * + z ^ * w) [/ matemáticas]

[matemáticas] (| z | + | w |) ^ 2 \ ge (z + w) (z ^ * + w ^ *) [/ matemáticas]

[matemáticas] (| z | + | w |) ^ 2 \ ge (z + w) (z + w) ^ * [/ matemáticas]

[matemáticas] (| z | + | w |) ^ 2 \ ge | z + w | ^ 2 [/ matemáticas]

Como las cosas que se cuadran en ambos lados no son negativas, la desigualdad sobrevive a la raíz cuadrada:

[matemáticas] | z | + | w | \ ge | z + w | \ quad \ marca de verificación [/ math]

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Volviendo a la suma larga,

[matemáticas] | z_1 | + | z_2 | \ ge | z_1 + z_2 | [/ math]

[matemáticas] | z_1 | + | z_2 | + | z_3 | \ ge | z_1 + z_2 | + | z_3 | [/matemáticas]

[matemáticas] | z_1 + z_2 | + | z_3 | \ ge | z_1 + z_2 + z_3 | [/matemáticas]

[matemáticas] | z_1 | + | z_2 | + | z_3 | \ ge | z_1 + z_2 + z_3 | [/matemáticas]

Es fácil ver cómo esto se extiende a la suma de siete términos.

Answer 2

Supongo que [math] z_i [/ ​​math] representan números complejos (aunque esta prueba también funciona para números reales, un subconjunto).

[matemáticas] | \ sum z_i | = \ dfrac {\ sum z_i \ cdot \ overline {\ sum z_i}} {| \ sum z_i |} = \ dfrac {\ sum (\ overline {\ sum z_j}) z_i} { | \ sum z_i |} [/ math]

[math] = \ mathrm {Re} \ dfrac {\ sum ({\ overline {\ sum z_j}}) z_i} {| \ sum z_i |} [/ math] (ya que la expresión es real)

[matemáticas] = \ dfrac {\ sum \ mathrm {Re} [({\ overline {\ sum z_j}}) z_i]} {| \ sum z_i |} [/ math]

[matemáticas] \ le \ dfrac {\ sum | (\ overline {\ sum z_j}) z_i |} {| \ sum z_i |} [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {\ sum | \ overline {\ sum z_j} || z_i |} {| \ sum z_i |} [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {| \ overline {\ sum z_i} | \ sum | z_i |} {| \ sum z_i |} = \ sum | z_i | [/ math]

Si esto es tarea, asegúrese de citar sus fuentes.

Answer 3

Esto es solo la desigualdad triangular aplicada seis veces.

Answer 4

Por inducción, esto es cierto para cualquier n (nada especial sobre n = 7) que usa la desigualdad triangular para pasar de un número al siguiente.

Answer 5

[matemáticas] | \ sum \ limits_ {m = 1} ^ {n} z_ {m} | \ le \ sum \ limits_ {m = 1} ^ {n} | z_ {m} | [/ math] porque suponga que uno de los [math] z [/ math] s es negativo que, por supuesto, que por supuesto [math] + z_ {i} [/ math] reducirá la cantidad mientras que [ math] + | z_ {i} | [/ math] seguirá creciendo.

Answer 6

Demuestre que [matemáticas] | a + b | \ leq | a | + | b | [/ matemáticas]. Recuerda que | a | es solo la longitud de un vector. Entonces es fácil probar n arbitraria por inducción.