“Gráficamente” sería de lejos el método más fácil, pero supongo que no es lo suficientemente riguroso y es poco probable que produzca soluciones exactas. 🙂
Por inspección, sabemos que dos parábolas que se cruzan en un plano podrían tener intersecciones [matemáticas] \ {0,1,2,3,4, \ infty \} [/ matemáticas], y dados los diferentes grados de las variables, no es [matemáticas] \ infty [/ matemáticas].
Entonces, ¿cómo lo resolvemos? Sugeriré la sustitución, y pensando en el futuro, espero tener que resolver un polinomio de cuarto grado.
Primero, resolveré cada ecuación para una sola variable, y estoy eligiendo arbitrariamente [math] y: [/ math]
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- [matemáticas] y = 5-x ^ 2 [/ matemáticas]
- [matemáticas] y = \ pm \ sqrt {5-x} [/ matemáticas]
Establecer esas dos ecuaciones iguales entre sí produce:
- [matemáticas] 5-x ^ 2 = \ pm \ sqrt {5-x} [/ matemáticas]
Iba a separar [math] \ pm [/ math] en dos ecuaciones separadas, pero me di cuenta de que el paso de cuadratura que sigue lo elimina de todos modos:
[matemáticas] 25-10x ^ 2 + x ^ 4 = 5-x \ implica x ^ 4-10x ^ 2 + x + 20 = 0 [/ matemáticas]
(Luego realicé una comprobación gráfica rápida para ver si podía hacer trampa y extraer ceros racionales, y también confirmar que la ecuación cuártica anterior coincide con las soluciones para las parábolas de intersección originales; no y sí, respectivamente).
Admitiré que estaba perplejo en este punto sobre cómo proceder, aparte de recurrir a la desagradable solución general para un ecuación cuártica, así que recurrí a WolframAlpha, que proporcionó una factorización cuadrática de lo anterior:
[matemáticas] (x ^ 2-x-4) (x ^ 2 + x + 5) = 0 [/ matemáticas]
Las dos soluciones para cada una de esas dos cuadráticas proporcionan los valores de x de las intersecciones que buscó originalmente:
[matemáticas] x = \ {\ frac {1} {2} \ pm \ frac {\ sqrt {17}} {2}, – \ frac {1} {2} \ pm \ frac {\ sqrt {21}} {2} \} [/ matemáticas]
[matemáticas] x \ aprox \ {- 2.791, -1.562,1.791,2.562 \} [/ matemáticas]
Luego, puede conectar esos cuatro valores de x en [math] y = 5-x ^ 2 [/ math] para encontrar los valores de y correspondientes para los puntos de intersección.
Verificación gráfica: