Cómo encontrar la intersección entre dos parábolas rotadas

“Gráficamente” sería de lejos el método más fácil, pero supongo que no es lo suficientemente riguroso y es poco probable que produzca soluciones exactas. 🙂

Por inspección, sabemos que dos parábolas que se cruzan en un plano podrían tener intersecciones [matemáticas] \ {0,1,2,3,4, \ infty \} [/ matemáticas], y dados los diferentes grados de las variables, no es [matemáticas] \ infty [/ matemáticas].

Entonces, ¿cómo lo resolvemos? Sugeriré la sustitución, y pensando en el futuro, espero tener que resolver un polinomio de cuarto grado.

Primero, resolveré cada ecuación para una sola variable, y estoy eligiendo arbitrariamente [math] y: [/ math]

  • [matemáticas] y = 5-x ^ 2 [/ matemáticas]
  • [matemáticas] y = \ pm \ sqrt {5-x} [/ matemáticas]

Establecer esas dos ecuaciones iguales entre sí produce:

  • [matemáticas] 5-x ^ 2 = \ pm \ sqrt {5-x} [/ matemáticas]

Iba a separar [math] \ pm [/ math] en dos ecuaciones separadas, pero me di cuenta de que el paso de cuadratura que sigue lo elimina de todos modos:

[matemáticas] 25-10x ^ 2 + x ^ 4 = 5-x \ implica x ^ 4-10x ^ 2 + x + 20 = 0 [/ matemáticas]

(Luego realicé una comprobación gráfica rápida para ver si podía hacer trampa y extraer ceros racionales, y también confirmar que la ecuación cuártica anterior coincide con las soluciones para las parábolas de intersección originales; no y sí, respectivamente).

Admitiré que estaba perplejo en este punto sobre cómo proceder, aparte de recurrir a la desagradable solución general para un ecuación cuártica, así que recurrí a WolframAlpha, que proporcionó una factorización cuadrática de lo anterior:

[matemáticas] (x ^ 2-x-4) (x ^ 2 + x + 5) = 0 [/ matemáticas]

Las dos soluciones para cada una de esas dos cuadráticas proporcionan los valores de x de las intersecciones que buscó originalmente:

[matemáticas] x = \ {\ frac {1} {2} \ pm \ frac {\ sqrt {17}} {2}, – \ frac {1} {2} \ pm \ frac {\ sqrt {21}} {2} \} [/ matemáticas]

[matemáticas] x \ aprox \ {- 2.791, -1.562,1.791,2.562 \} [/ matemáticas]

Luego, puede conectar esos cuatro valores de x en [math] y = 5-x ^ 2 [/ math] para encontrar los valores de y correspondientes para los puntos de intersección.

Verificación gráfica:

Un punto M (x; y) está en ambas parábolas si verifica ambas ecuaciones al mismo tiempo. Lo que significa que tiene un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas.

Puede que este no sea el método correcto, pero le sugiero que intente conectar una ecuación a la otra y ver qué obtiene. Dado que las ecuaciones son diferentes (linealmente independientes), puede tener 0, 1 o 2 soluciones (no una cantidad infinita), lo que sugiere fuertemente que lo que terminará resolviendo es una ecuación cuadrática (que también tiene 0, 1 o 2 soluciones).

Conseguí que la computadora lo hiciera por mí, jugando con los límites de la trama y luego aplicando algunas condiciones como X1 Y2 o Y1 Mis respuestas fueron similares a las del Sr. Scott Kreidler.
Esto es lo que usé, ya que tenía poco tiempo para hacerlo mejor.
K = 50
PARA Y = -3 A 3 PASO .01
PARA X1 = 3 A -3 PASO -.01
Y1 = – (X1 ^ 2) +5
X = – (Y ^ 2) +5
PLOT69, 500 + K * X, 500 + K * Y
PLOT69, 500 + K * X1, 500 + K * Y1
REM SI X1 REM SI X1 SIGUIENTE X1
SIGUIENTE S

En términos de concepto, su pregunta no es difícil y estoy seguro de que debe saberlo. Esencialmente tienes dos ecuaciones y dos incógnitas, y cualquier método para resolver tales ecuaciones es válido. Un enfoque estándar es aislar una variable en una de las ecuaciones y sustituirla en la otra ecuación, y esto a menudo puede conducir a una ecuación en una sola variable, lo que significa que está casi en casa y seco. En la práctica, este enfoque puede conducir a una ecuación difícil de resolver en una variable.

Considere el siguiente enfoque. Comienza por etiquetar las ecuaciones

[matemáticas] x ^ {2} + y-5 = 0 \ etiqueta {1} [/ matemáticas]

[matemáticas] x + y ^ {2} -5 = 0 \ etiqueta {2} [/ matemáticas]

Usando el enfoque sugerido, resuelva (1) para [math] y [/ math]

[matemáticas] y = 5-x ^ {2} \ etiqueta {3} [/ matemáticas]

Ahora sustituya (3) en (2) para eliminar la variable [math] y [/ math] y obtenga

[matemáticas] x ^ {4} -10x ^ {2} + x + 20 = 0 \ etiqueta {4} [/ matemáticas]

La solución a (4) arrojará los posibles valores de [matemática] x [/ matemática] que resuelven el par original de ecuaciones, los valores correspondientes [matemática] y [/ matemática] se dan por sustitución directa en (3).

Es ahora que un poco de filosofía levanta su cabeza. ¿Cómo estás resolviendo cuartos? Sí, hay varias técnicas, algunas de las cuales son relativamente exigentes y otras menos exigentes si se aplican. Incluso si no estás versado en cuartos, ¿cómo es tu factorización? La ecuación (4) puede tener un máximo de 4 raíces reales, o 2 reales y 2 complejas o 4 complejas. La aplicación del teorema del factor sería una posibilidad, buena para encontrar soluciones racionales a tales ecuaciones si existen. Pero si no son racionales, entonces posiblemente pienses que es el producto de dos cuadráticos. Bueno, en este caso lo es y tenemos

[matemáticas] x ^ {4} -10x ^ {2} + x + 20 = 0 \ implica (x ^ {2} -x-4) (x ^ {2} + x-5) = 0 \ etiqueta {5 }[/matemáticas]

La ecuación (5) nos muestra que, en este caso, el cuarto resultante tiene en cuenta dos cuadráticos. Recuerde que esto no siempre sucederá. Pero como lo hace aquí, podemos resolver cada cuadrática para sus raíces y usar la ecuación (3) para recuperar las variables [math] y [/ math].

Un enfoque más elegante, y esto no siempre dará resultados, pero cuando lo hace, evita la confrontación con un cuarto, es notar que si restamos (2) de (1) ocurre algo muy agradable:

[matemáticas] \ begin {align *} x ^ {2} + y- (x + y ^ {2}) & = 0 \\ (x + y) (xy) – (xy) & = 0 \\ (xy ) (x + y-1) & = 0 \ tag {6} \ end {align *} [/ math]

De (6) vemos que cualquiera

[matemáticas] x = y \ etiqueta {7} [/ matemáticas]

o

[matemáticas] x + y = 1 \ etiqueta {8} [/ matemáticas]

De (1) y (7) obtenemos

[matemáticas] x ^ {2} + x-5 = 0 \ implica x = \ frac {1 \ pm \ sqrt {21}} {2} \ implica y = \ frac {1 \ pm \ sqrt {21}} { 2} \ tag {9} [/ matemáticas]

De (1) y (8) obtenemos

[matemáticas] x ^ {2} -x-4 = 0 \ implica x = \ frac {1 \ pm \ sqrt {17}} {2} \ implica y = \ frac {1 \ mp \ sqrt {17}} { 2} \ tag {10} [/ matemáticas]

La ecuación (9) y (10) proporcionan todas las soluciones a (1) y (2).

Establezca la ecuación igual entre sí y escríbala como [matemáticas] {x ^ 2} – {y ^ 2} = x – y [/ matemáticas]. Por lo tanto, [matemáticas] x = y [/ matemáticas] o [matemáticas] x + y = 1 [/ matemáticas]. Tu continua.

Interesante. La forma de encontrar puntos de interés entre dos curvas simples sería la misma que resolvería ecuaciones simultáneas. Pero aquí nos llevaría al cuarto orden de x o y. Entonces, intentemos un enfoque diferente.

restando eq 2 de 1 nos quedamos con x ^ 2 + y = y ^ 2 + x

o, x (x-1) = y (y-1)

o, x / y = (y-1) / (x-1). Digamos que esta es nuestra ecuación.

Al ver un poco de patrón aquí, me gustaría usar el enfoque addendo-componente donde, si a / b = c / d, entonces

a / b = c / d = (a + c) / (b + d)

aplicando esto a la ecuación n, x / y = (y-1) / (x-1) = (x + y-1) / (x + y-1), lo que significa x = y. Y (x-1), e y no pueden ser cero, para el plano real.

Ahora reemplacemos y por x en cualquier ecuación y tenemos una ecuación cuadrática simple: x ^ 2 + x -5 = 0

Ahora encuentre los dos valores de x y los valores correspondientes de y para las soluciones.

Con la ayuda de Wolfram Alpha: