¿Cómo pueden los amplificadores operacionales calcular integrales?

Los amplificadores operacionales realmente no calculan integrales. Un integrador hace uso del hecho de que el voltaje en un condensador es proporcional a la integral de la corriente a lo largo del tiempo. Se puede implementar un circuito integrador utilizando un amplificador operacional, pero es realmente el condensador el que le permite calcular integrales.

Ahora, esto puede parecer que los condensadores son dispositivos mágicos que son difíciles de entender (¡pueden hacer cálculos!), Pero la capacidad de calcular una integral no es realmente una propiedad mágica. La masa de un balde de agua es proporcional a la integral del caudal de agua en el balde con el tiempo. Los cubos de agua no son muy prácticos en los circuitos electrónicos, por lo que generalmente nos quedamos con los condensadores.

(Un balde de agua no es realmente una muy buena analogía para un condensador, y la masa no es un buen análogo de voltaje, así que no dejes que esto te lleve por el camino equivocado para entender cómo funcionan los condensadores. Es simplemente un simple ejemplo de un sistema físico que puede “calcular una integral”)

Ningún elemento electrónico calcula las matemáticas y es simplemente un caso en el que las relaciones de voltajes y corrientes y retrasos y amplificaciones y secuencia y acumulación de electrones y la tasa de cambio de electrones, que fluyen en circuitos electrónicos pueden representarse mediante expresiones matemáticas. Lo mismo con la ingeniería mecánica. Es tan interesante que muchas de las relaciones en ingeniería eléctrica y mecánica pueden expresarse como una relación entre tres cuestiones, a saber, la reacción, los fenómenos aplicados y las características del dispositivo / entidad con el que se está tratando. Mencionemos algunos de estos, pero hay muchos más.

Tome a = F / m, donde la aceleración resultante de un cuerpo se debe a la fuerza aplicada al cuerpo en cuestión, dividida por la masa del propio cuerpo.

Tome I = V / R, donde la corriente resultante en una resistencia se debe a un voltaje aplicado a la resistencia dividido por el valor de la resistencia misma.

Tome Vc = (integral de la corriente I con el tiempo) / C, donde el voltaje resultante a través del condensador (es la integral de la corriente I a través de él) dividido por la capacidad del condensador mismo.

Tome Vl = (primer índice de cambio de corriente a través del inductor) * L, donde el voltaje resultante a través de un inductor es (el primer índice de cambio de corriente a través de él) multiplicado por el valor del inductor mismo.

Dado que en esta pregunta en particular estamos tratando con un amplificador operacional y condensadores y resistencias, bien podríamos explicar lo que está sucediendo de manera ingenieril en lugar de matemática.

Supongamos que estamos en un automóvil en el que hicimos nuestro propio indicador de velocidad al tener una hoja de cartón pesado colgando de una estructura en la parte superior del automóvil. El arrastre provocaría que el cartón pesado se asentara en un ángulo particular dependiendo del flujo de aire a su alrededor. Digamos que requerimos que la hoja de cartón permanezca en un ángulo particular, por lo tanto, requerimos un flujo constante a su alrededor o una velocidad constante. Si el automóvil disminuye la velocidad, el cartón colgaría en un ángulo más pequeño, mientras que si el automóvil va demasiado rápido, el ángulo sería más alto. Mientras tanto, el automóvil cubre continuamente la distancia. Ahora, para mantener una velocidad constante, todo lo que tenemos que hacer es acoplar el ángulo del cartón al acelerador del automóvil de manera que si el automóvil disminuye la velocidad, un ángulo más pequeño daría un acelerador más alto, mientras que si el ángulo del cartón es demasiado grande , el acelerador se reducirá. Matemáticamente hablando, la distancia recorrida por el automóvil es la integral del ángulo del cartón.

a. En un amplificador operacional, su voltaje de salida es igual a la diferencia entre la entrada no inversora y la inversora, multiplicada por una constante, por lo que básicamente el amplificador operacional es solo un amplificador de su voltaje de entrada.

si. Una resistencia pasa corriente a través de ella cuando se aplica un voltaje a través de ella y la corriente que fluye es inversamente proporcional al valor de la resistencia y directamente proporcional a la tensión aplicada. Entonces, una resistencia es una unidad que podemos usar para decidir un flujo particular de corriente dependiendo del voltaje que se le aplica.

C. El condensador consta de solo dos placas conductoras separadas por un aislante. Si uno conecta un extremo de la resistencia al lado positivo de una fuente de alimentación de CC, el otro extremo de la resistencia a un terminal del condensador y el otro terminal del condensador al terminal negativo de la fuente, lo que sucedería es que el voltaje a través del condensador aumentará mientras que el de la resistencia disminuirá reduciendo el flujo de corriente. Si el flujo de corriente en la resistencia debe permanecer constante, entonces lo que uno debe hacer es que, a medida que el voltaje a través del capacitor aumenta mientras que la resistencia se reduce, uno debe cambiar continuamente el suministro negativo a un valor más negativo para que la resistencia retendrá un voltaje constante a través de él, por lo tanto, un flujo de corriente constante. Este flujo de corriente constante que entra al condensador significaría que el terminal negativo del suministro debe reducirse continuamente a una velocidad constante. Entonces, mientras una placa en el condensador permanecería a un voltaje constante conectado a la resistencia, el otro extremo del condensador tendrá que moverse negativamente todo el tiempo para mantener el flujo de corriente tanto en la resistencia como en el condensador, una constante.

La conexión de una resistencia y un condensador cuando se usa en un integrador de amplificador operacional básicamente está haciendo lo que se describió anteriormente. Con la entrada no inversora conectada a tierra, la resistencia recibe un voltaje en un extremo mientras que el otro extremo está conectado a la entrada inversora. El condensador tiene un extremo conectado a la entrada inversora mientras que el otro extremo está conectado a la salida del amplificador. La corriente comenzará a fluir a través de la resistencia que carga el condensador, pero la entrada inversora al amplificador se verá afectada por esta acción y, por lo tanto, para retener un flujo de corriente constante a través de la resistencia, la salida del amplificador operacional operará y reaccionará al final del condensador conectado a él, para mantener la “tierra virtual” de modo que la corriente a través de la resistencia siga dependiendo de la función de entrada. Si la entrada es un voltaje de CC positivo, entonces se requiere que la corriente en la resistencia sea un valor constante y para que esto ocurra, la salida debe ser un voltaje continuamente variable o una forma de rampa triangular negativa.

Es todo electrónico, pero si uno lo descifra todo, cuando se conecta como se describe, el voltaje de la rampa en la salida del amplificador es la integral (negativa) de la corriente constante a través de la resistencia. Si la entrada es cualquier otra función, la corriente en la resistencia cambiará proporcionalmente a la función de entrada, debido a la “tierra virtual en la entrada inversora” mientras que el voltaje de salida del amplificador operacional se ajustará para seguir trabajando para mantener la corriente fluya en la resistencia una réplica del voltaje de entrada. Por lo tanto, decimos que la salida es la integral invertida de la entrada.

Si uno coloca una canica en una tubería transparente larga y cerrada llena de aceite viscoso, luego trata de mantener la canica a una altura constante sobre el suelo, si no se mueve y levanta continuamente la tubería transparente, la canica se hundirá en el suelo. Cuando el operador de esta acción se las arregla para mantener la canica a una altura constante sobre el suelo, “cayendo continuamente”, la tasa constante de elevación (flujo constante de fluido) del tubo transparente podría estar relacionada con la altura constante de la canica ( sobre el suelo a través de una integral. Tenga en cuenta que el tamaño de la canica o el tamaño de la tubería decidiría el flujo constante de fluido alrededor de la canica, qué flujo constante de fluido) decidiría a qué velocidad debe elevarse la tubería transparente. Bueno, en realidad son todas las funciones de ingeniería, pero podemos llamar el aumento de la tubería transparente, la integral de la posición de la canica o mejor aún, el flujo de corriente a su alrededor. Muévase con cuidado cuando use analogías, pero también es divertido considerar su equivalencia con nuestras funciones. Todas las operaciones de un amplificador operacional pueden simularse con un par de palancas (dos tipos / clases) conectadas entre sí donde producirían la entrada inversora y no inversora y cuando se mueven juntas, la salida permanece cero ……. Incluso las matemáticas de dos palancas mecánicas conectadas representan con tanta precisión lo que se espera de un amplificador operacional.

Bueno, yo diría que no es exactamente que los amplificadores operacionales calculen integrales, sino que la función de transferencia (Vout / Vin) para la siguiente configuración (llamada modo integrador) resulta ser una integral, con un factor de -1 / RC:

Siguiendo esa lógica, puede usar esta configuración para integrar, pero no es como si se resolviera usando el mismo procedimiento que usaríamos para resolverlo manualmente, o una secuencia de pasos definidos discretos. En realidad, antes de que las computadoras digitales estuvieran disponibles, las computadoras analógicas siguieron este principio de aprovechar varias propiedades físicas que coinciden con algunas operaciones, para hacer cálculos.

Si todavía no está convencido de eso, puede verlo como el condensador, que está en el circuito de alimentación, agrega constantemente corriente, acumulando, lo que en el tiempo continuo es una parte integral

Me gustan las otras respuestas aquí que he leído; Probablemente mejor que mi propia explicación. Sin embargo, agregaría que los procesos físicos actúan de acuerdo con las leyes naturales, muchas de nuestras fórmulas matemáticas y comprensión llegan a ayudar a describir tales cosas. Sin embargo, la simetría está en los procesos físicos de la naturaleza, sabemos lo suficiente para calcular; mal muchas veces, en formas que nos dan respuestas a esas preguntas que sabemos lo suficiente como para responder. Sin embargo, todo es no lineal, por lo tanto, nuestras aproximaciones con las matemáticas todavía estamos aprendiendo cómo aplicar cada vez con mayor precisión. Las integrales forman parte del subconjunto de operaciones matemáticas que son predecibles con procesos abiertos con los que jugamos. Ya sea el flujo de agua, un circuito eléctrico o el flujo de sangre a través de las venas, las integrales nos ayudan a comprender mejor los procesos que buscamos explorar.

Los amplificadores operacionales, en sí mismos, son simplemente amplificadores diferenciales de ganancia muy alta con impedancias de entrada muy grandes. Toman dos voltajes de entrada, [matemática] V_ +, V _- [/ matemática], y emiten un voltaje que es proporcional a la diferencia entre ellos, [matemática] V_o = \ beta (V_ + – V _-) [/ matemática] . Por lo general, [math] \ beta [/ math] es muy grande, pero el valor exacto no importa mucho debido a cómo se usan. Los amplificadores operacionales se utilizan con circuitos de retroalimentación que modifican esta función de manera útil.

En una configuración típica de amplificador inversor, la “entrada no inversora”, [matemática] V _ + [/ matemática] está vinculada a tierra y la señal de entrada [matemática] V_i [/ ​​matemática] está conectada a la “entrada inversora”, [ matemática] V _- [/ matemática], a través de una resistencia de entrada, [matemática] R_i [/ ​​matemática]. Una resistencia de retroalimentación, [math] R_f [/ math], está conectada desde [math] V_o [/ math] a [math] V _- [/ math] también.

Lo que sucede en este caso es que las resistencias de entrada y retroalimentación forman un divisor de voltaje, entonces [math] V_- = V_i + \ frac {R_i} {R_i + R_f} (V_o-V_i) [/ math]. Al resolver esto y la otra relación entre [matemática] V_o [/ matemática] y [matemática] V _ + [/ matemática], obtienes [matemática] V_- \ aprox 0 [/ matemática]. Esto establece la entrada inversora, [math] V _- [/ math] como una “tierra virtual”. No es un camino real a tierra, pero el circuito lo mantiene a 0 voltios, igual que tierra.

Lo que esto significa es que la corriente de entrada, [matemática] I_i = (V_i-V _-) / R_i = V_i / R_i [/ ​​matemática] no tiene una ruta de salida, excepto a través de la resistencia de retroalimentación. Dado que la resistencia de retroalimentación conecta la tierra virtual y el voltaje de salida, la caída de voltaje de la resistencia de retroalimentación determina el voltaje de salida. Con una resistencia de retroalimentación, la caída de voltaje, según la ley de Ohms, es [matemática] V_f = I_fR_f = I_iR_f = V_i \ frac {R_i} {R_f} = -V_o [/ math].

Pero, ¿qué pasa si la resistencia de retroalimentación es reemplazada por un condensador de retroalimentación? Se aplica la misma matemática (trate la entrada inversora como una tierra virtual, y el voltaje de salida es el inverso de la caída de voltaje a través del elemento de retroalimentación), pero ahora la Ley de Ohm no se aplica al condensador de retroalimentación. La ley equivalente para los condensadores es [matemática] V_f = \ frac {1} {C} \ int I_i (t) dt = \ frac {1} {C} \ int \ frac {V_i} {R_i} dt = \ frac { 1} {R_iC} \ int V_i dt [/ math], por lo que el voltaje de salida, [math] V_o = -V_f \ propto \ int V_i dt [/ math] es la integral de la señal de entrada.

Si reemplaza la resistencia de retroalimentación con un inductor de retroalimentación, usted usa [matemáticas] V_f = L \ frac {dI_i} {dt} = L \ frac {d (V_iR_i)} {dt} \ propto \ frac {dV_i} {dt} [/ math] y obtienes un diferenciador.

Técnicamente, un amplificador en amplificador puede funcionar como integrador en un rango de frecuencias prohibido.

El amplificador en amplificador tiene una ganancia casi infinita entre la diferencia de las señales de entrada y la señal de salida.

Al poner una capacitancia conectada con un polo no inversor y una resistencia con la salida, se construye el integrador.

Los amplificadores operacionales son dispositivos sin capacidad lógica propia. Lo que PODEMOS hacer es usarlos para manipular el voltaje a través de él.

Podemos usar un circuito RC junto con un amplificador operacional para dar forma al voltaje de salida de modo que sean las integrales de los voltajes de entrada.

Usando la capacitancia como la impedancia de retroalimentación, podemos lograr esto.

No lo hacen, usan un condensador, que intrínsecamente tiene un voltaje proporcional a la integral de la corriente a lo largo del tiempo. El amplificador operacional está allí para proporcionar aislamiento y convertir la entrada de voltaje a corriente de condensador.