¿Por qué esta Transformada de Fourier produce una respuesta indeterminada y cómo se puede resolver?

Answer 1

Comience con la función de signum [math] sgn (t) [/ math]

su derivada es

[matemáticas] \ frac {d \, sgn (t)} {dt} = 2 \ delta (t) [/ matemáticas]

y la transformación de esta derivada es

[matemáticas] {\ cal F} \ {2 \ delta (t) \} = 2 [/ matemáticas]

Ahora, hay una propiedad que dice si existe el par

[matemáticas] f (t) \ leftrightarrow F (\ omega) [/ matemáticas]

entonces

[matemáticas] \ frac {d \, f (t)} {dt} \ leftrightarrow j \ omega F (\ omega) [/ matemáticas]

Entonces, aplicando esta propiedad a [math] sgn (t) [/ math], porque conocemos la transformación de su derivada, obtenemos

[matemáticas] sgn (t) \ leftrightarrow \ frac {2} {j \ omega} [/ matemáticas]

Finalmente porque

[matemáticas] u (t) = \ frac {1} {2} + \ frac {1} {2} sgn (t) [/ matemáticas]

y

[matemáticas] {\ cal F} \ {1 \} = 2 \ pi \ delta (\ omega) [/ matemáticas]

podemos escribir

[matemáticas] {\ cal F} \ {u (t) \} = {\ cal F} \ {\ frac {1} {2} \} + {\ cal F} \ {\ frac {1} {2} sgn (t) \} [/ math]

[matemáticas] {\ cal F} \ {u (t) \} = \ pi \ delta (\ omega) + \ frac {1} {j \ omega} [/ matemáticas]

Las transformadas de Fourier de señales de potencia (o señales de energía infinita) tales como funciones sinusoidales, pasos, etc., a veces se denominan “transformadas de Fourier generalizadas” y a menudo se resuelven usando la transformación de [math] \ delta (t) [/ math]

[matemáticas] \ delta (t) \ leftrightarrow 1 [/ matemáticas]

y la propiedad de simetría del FT

[matemáticas] f (t) \ leftrightarrow F (\ omega) \ qquad \ Rightarrow \ qquad F (jt) \ leftrightarrow 2 \ pi f (- \ omega) [/ math]

(Esta derivación se puede ver, por ejemplo, en Gabel, Roberts, “Signals and Linear Systems – 3rd ed.”, Wiley, 1987).

Answer 2

Todo tiene ciertos límites y la transformación de Fourier también.

Si recuerda las condiciones para la existencia de la transformada de Fourier de una señal, debemos verificar la convergencia absoluta de la señal.

Si la señal no es absolutamente convergente, su transformación de Fourier no se puede encontrar utilizando el método directo.

Si tiene un número finito de maximas / minimas (lo cual es cierto en el caso del paso unitario), entonces tendrá una transformada de Fourier usando métodos indirectos como se muestra en otras respuestas.

¡Un método más es encontrar la transformada de Fourier de una señal de impulso y aplicar la integración en la propiedad de dominio de tiempo de la transformada de Fourier .. !!

Si la señal no sigue la condición para maximas / minimas finitas, ¡entonces sé bonita porque esa transformada de Fourier no existe para esa señal …!

¡Gracias y proporcione sus valiosos comentarios .. !!

Answer 3

Una forma de encontrar el FT de la función paso es considerarlo como un caso especial de la función signum (sgn (t)); (u (t) es una versión desplazada de sgn (t) o u (t) = 1/2 (1 + signo (t)). Se conoce el FT de una constante (la función delta).

Puede resolver el FT de sgn (t) aproximando las funciones de paso con dos exponenciales, como en sgn (t) = e ^ (- en [matemáticas]) para t> 0 [/ matemáticas]. y sgn (t) = -e ^ (at) fot t <0. Luego resuelve el FT (sgn (t)) para el límite como a -> 0

Ver también

http://www.personal.soton.ac.uk/ …

Función de paso y la función de Signum

Answer 4

El límite superior está bien:

[matemáticas] \ displaystyle {\ lim _ {\ omega \ rightarrow \ infty} \ frac {-e ^ {- j \ omega x}} {j \ omega} = 0} [/ math]

Pero el límite inferior termina con cero en el denominador:

[matemáticas] \ displaystyle {\ lim _ {\ omega \ rightarrow 0} \ frac {-e ^ {- j \ omega x}} {j \ omega}}. [/matemáticas]

Entonces es una forma indeterminada.

Cuando realiza transformaciones de Laplace, tiene una ‘región de convergencia’ que deja en claro qué diablos podría significar tener una forma indeterminada aquí. No te integras directamente a través del poste.

Desafortunadamente, la transformación de Fourier no tiene esa característica, por lo que no se puede poner a prueba manipulando la integral de la transformación. Todo lo que podemos hacer, en última instancia, es buscar algo que tenga la transformación inversa correcta. Función de paso y la función de Signum

Answer 5

Un paso unitario tiene un número infinito de armónicos, por lo que es difícil obtener una fórmula para eso. Póngalo a través de un filtro de respuesta de paso o frecuencia razonable y debería ser más factible.