¿Existe una forma más simple e intuitiva de entender un polinomio mínimo?

Answer 1

Consideraré el polinomio mínimo de un número algebraico, ya que no me has dado ningún contexto sobre dónde se usa el polinomio mínimo.

Supongamos que me das un número. El polinomio mínimo de ese número es el polinomio más simple con coeficientes enteros que tienen el número que me diste como raíz. Por ejemplo, si me das el número [matemática] 1 [/ matemática], entonces su polinomio mínimo sería [matemática] x-1 [/ matemática], ya que [matemática] x-1 [/ matemática] es el polinomio más simple con coeficientes enteros que tienen [math] 1 [/ math] como solución para [math] x-1 = 0 [/ math]. Si me das [matemáticas] 2/3 [/ matemáticas], el polinomio mínimo sería [matemáticas] 3x-2 [/ matemáticas]. Si me das [matemáticas] i [/ matemáticas], el polinomio mínimo sería [matemáticas] x ^ 2 + 1 [/ matemáticas]. Si me das [math] \ sqrt [3] {- 2} [/ math], el polinomio mínimo sería [math] x ^ 3 + 2 [/ math]. Y así.

Hay algunos números, como [math] \ pi [/ math], que no son soluciones de ningún polinomio con coeficientes enteros. Tales números se llaman trascendentales.