Pregunta original
¿Cómo usaría la prueba por inducción para demostrar que 1 * 2 * 3 … * n es mayor que igual a 3 ^ n para n> 6
En primer lugar, supondré que te refieres a donde [math] n [/ math] es un número entero mayor que 6. Además, ten en cuenta que esto significa que [math] n [/ math] es al menos 7, y así [math] n! [ / math] será divisible por 7 para todos [math] n> 6 [/ math]. Esto a su vez significa que [matemática] n! [/ Matemática] nunca puede ser igual a [matemática] 3 ^ n [/ matemática] porque 7 no divide [matemática] 3 ^ n [/ matemática]. Por lo tanto, usaré la inducción para demostrar que:
[matemáticas] 1 * 2 * 3… * n [/ matemáticas] es mayor que [matemáticas] 3 ^ n [/ matemáticas] para [matemáticas] n> 6 [/ matemáticas]
Es cierto para [matemáticas] n = 7 [/ matemáticas]. Podemos verificar esto fácilmente; También soy demasiado vago para hacerlo.
Suponiendo que es cierto para algún número entero [matemática] k [/ matemática] mayor que 6, entonces [matemática] 1 * 2 *… * k> 3 ^ k [/ matemática], por lo tanto, considerando el caso de [matemática] k + 1 [/ math], necesitamos mostrar [math] 1 * 2… * k * k + 1> 3 ^ {k + 1} = 3 * 3 ^ k [/ math]
Ahora usamos la notación factorial para acortar expresiones.
¡Y así desde [matemáticas] k! > 3 ^ k [/ matemáticas],
[matemáticas] 3 * k!> 3 * 3 ^ k [/ matemáticas].
También desde [matemáticas] k + 1> 3 [/ matemáticas], [matemáticas] (k + 1) * k! > 3 * k! [/ Matemáticas] y [matemáticas] ([/ matemáticas] [matemáticas] k + 1) * k! = (K + 1)! [/ Matemáticas],
[matemáticas] (k + 1)!> 3 * k!> 3 * 3 ^ k [/ matemáticas], entonces
[matemáticas] (k + 1)!> 3 * 3 ^ k = 3 ^ {k + 1} [/ matemáticas].
Entonces, si el enunciado es verdadero para algún valor [math] k [/ math], también es verdadero para [math] k + 1 [/ math]. Hemos establecido un caso base de [matemáticas] n = 7 [/ matemáticas] para ser verdad. Por lo tanto, por inducción, es cierto para [matemáticas] n = 8, n = 9, n = 10 … [/ matemáticas], o que es cierto para todas [matemáticas] n> 6 [/ matemáticas].
