Un módulo es similar a un espacio vectorial, excepto cuando haces multiplicación escalar, los elementos con los que multiplicas tus “vectores” no son necesariamente tan buenos como los números reales / complejos.
En términos más matemáticos, los conjuntos de números reales y números complejos son ejemplos de lo que se conoce como un campo . Los campos son conjuntos con dos reglas de composición: “suma” y “multiplicación”, y la historia corta es que estos juegan bien juntos. (Para más detalles: Campo (matemáticas) – Wikipedia)
Un anillo , por otro lado, es un conjunto que también tiene dos operaciones definidas en él. Sin embargo, hay menos restricciones sobre cómo se comportan estas dos operaciones que para los campos.
Entonces, todos los campos son anillos, pero no todos los anillos son campos: los anillos no son tan “agradables” como los campos, se podría decir. Pero un anillo es una estructura más general, más abstracta en cierto sentido.
La idea de un módulo es básicamente la de un “espacio vectorial”, donde los escalares provienen de un anillo en lugar de un campo (como es el caso de un espacio vectorial adecuado).
Esto significa que la relación correspondiente entre módulos y espacios vectoriales es: Todos los espacios vectoriales son módulos, pero no todos los módulos son espacios vectoriales. Los espacios vectoriales en general “juegan mejor”, pero los módulos son una “abstracción superior”, una clase de objetos más general.