¿Por qué cero factorial (0!) Es igual a uno (1)?

Answer 1

Esta es una pregunta realmente interesante. En mis 10 + 2, la mayoría de los libros introductorios decían que [matemáticas] ¡0! = 1 [/ math] es por convención. Pero esto “por convención” nunca acaba con la curiosidad de nadie. Mientras estaba en mi graduación, decidí intentarlo de nuevo para encontrar la respuesta. Y luego me encontré con una forma súper increíble de demostrar que [matemáticas] 0! = 1 [/ matemáticas]. Aquí va..

Antes de continuar, creo que es una buena idea definir Factorial primero, esto es lo que dice Wikipedia:
Es un entero no negativo n, denotado por n !, es el producto de todo entero positivo menor o igual que n.
[matemáticas] n! = n * (n-1) * (n-2) * (n-3) *… 3 * 2 * 1 [/ matemáticas]

Sin embargo, la definición recursiva de factorial es más útil en esta prueba.
[matemáticas] n = \ begin {cases} 1 & n = 0 \\ n * (n-1)! & n> 0 \ end {casos} [/ matemáticas]

La definición recursiva de Factorial conduce a una forma interesante de expresar números factoriales.
[matemáticas] n! = \ dfrac {(n + 1)!} {(n + 1)} [/ math]

Esto es válido ya que, a medida que expandimos [math] (n + 1)! [/ Math] de la definición recursiva, podemos cancelar el término [math] (n + 1) [/ math] tanto del numerador como del denominador para obtener [math ] n! [/ matemáticas]. O incluso podemos calcular factorial en numerador y luego evaluar la división

Por ejemplo,
[matemáticas] 5! = \ dfrac {6!} {6} = \ dfrac {720} {6} [/ matemáticas]

[matemáticas] 4! = \ dfrac {5!} {5} = \ dfrac {120} {5} [/ matemáticas]

[matemáticas] 3! = \ dfrac {4!} {4} = \ dfrac {24} {4} [/ matemáticas]

[matemáticas] 2! = \ dfrac {3!} {3} = \ dfrac {6} {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] 1! = \ dfrac {2!} {2} = \ dfrac {2} {2} [/ matemáticas]

De manera similar, si tratamos de expresar [matemáticas] 0! [/ Matemáticas] obtenemos
[matemáticas] 0! = \ dfrac {1!} {1} = 1 [/ matemáticas]

Y esto termina nuestra prueba de que [matemáticas] 0! = 1 [/ matemáticas].
Esta prueba es una de muchas maneras, donde [matemáticas] 0! [/ Matemáticas] conduce a [matemáticas] 1 [/ matemáticas]. Pero este es bastante explicativo en sí mismo.

Hay una pregunta más interesante que me gustaría compartir que estaba en mi mente en aquellos días.

¿POR QUÉ NECESITAMOS [matemáticas] 0! [/ Matemáticas]?
Y la respuesta es el cálculo del número de combinación .
[matemáticas] {n \ elegir k} = \ dfrac {n!} {k! (nk)!} [/ matemáticas]

cuando [matemáticas] k = n [/ matemáticas]
[matemáticas] {n \ elegir n} = \ dfrac {n!} {n! * 0!} [/ matemáticas]

Esta es una de las muchas aplicaciones de [math] 0! [/ Math]. ¡Pero este ejemplo da una muy buena idea de dónde podemos usar [matemáticas] 0! = 1 [/ matemáticas].

HTH
Salud

Answer 2

Hay varias explicaciones para esto, algunas de ellas me parecieron interesantes.

El primero, que creo que es la verdadera interpretación e intuición detrás de la noción de factoriales, es que n! representa el número de permutaciones de n objetos, digamos elementos del conjunto {1,2, …, n}.

1. Ahora suponga que tiene un objeto 0 , que está en el conjunto vacío {} . ¿De cuántas maneras puedes permutar el objeto? Solo uno; deja el set solo. Por lo tanto 0! = 1.
2. Lo mismo para 1! el conjunto {1} tiene 1 objeto. Puede permutar el objeto de una sola manera, es decir, {1} . Por lo tanto 1! = 1
3. Lo mismo para 2! el conjunto {1,2} tiene 2 objetos. Puede permutar 2 objetos de dos maneras, es decir, {1,2} y {2,1} . Por lo tanto 2! = 2
4. Lo mismo para 3! el conjunto {1,2,3} tiene 3 objetos. Puede permutar 3 objetos de seis maneras, es decir, {1,2,3}, {1,3,2}, {2,3,1}, {2, 1,3}, {3,2,1} y {3,1,2} . Por lo tanto 3! = 6

El segundo es preservar la identidad (n + 1)! = (N + 1) × n! . Cuando tomamos n = 0, tenemos 1! = 1 × 0! lo que implica que 0! = 1.

Answer 3

3! = 4! / 4
2! = 3! / 3
1! = 2! / 2
0! = 1! / 1 = 1

Otra explicación que es más elegante, en mi opinión :

Hay 6 (3) formas de organizar 3 objetos.
Hay 2 (2) formas de organizar 2 objetos.
Hay 1 (1) forma de organizar 1 objeto.
¡Solo hay UNA forma de organizar NO objetos!

Para llevar esto más lejos;

Considere la gráfica de factoriales de 0, 1, 2,… .n

¡Esto significa que podemos encontrar factoriales de números no integrales como 2.5!
¡Lea sobre la función Gamma para saber más!

Todos los créditos a Numberphile:

Answer 4

Para ponerle un punto más fino, [math] 0! [/ Math] es el producto de un conjunto vacío de números, y entonces [math] 0! = 1 [/ math] porque el llamado producto vacío debe ser el identidad multiplicativa (es decir, “uno”) al igual que una suma vacía debe ser la identidad aditiva (es decir, “cero”):

http://en.wikipedia.org/wiki/Emp …

De los números reales se deduce que la multiplicación es casi un llamado grupo (en el sentido de álgebra):

http://en.wikipedia.org/wiki/Gro …

• Probablemente esté más familiarizado con el verdadero grupo formado a partir de los números reales con suma. En ese caso, la “suma vacía” es vacuamente cero. Es decir, la suma de una lista vacía de números es cero . El número “cero” es algebraicamente especial porque es la identidad aditiva :

  http://en.wikipedia.org/wiki/Add …

  Es decir, el número “cero” es un número que se puede agregar a cualquier otro número para obtener el mismo número. En un grupo algebraico, la operación asociada en la lista vacía es la identidad. Entonces, la suma de una lista vacía es cero, lo que parece intuitivo.

• Del mismo modo, el número “uno” es la identidad multiplicativa:

  http://en.wikipedia.org/wiki/Ide …

  Cuando se multiplica por cualquier otro número, el resultado es el mismo número. En consecuencia, por la misma razón que la suma de una lista vacía de números es cero, el producto de una lista vacía de números es uno .

Otra forma de ver esto es considerar la suma y el producto de una lista de solo un número. La suma de la lista es solo el número, y el producto de la lista es solo el número. Sin embargo, tanto la suma como la multiplicación toman dos números como argumentos. Por lo tanto, la lista siempre incluye un ” elemento de identidad ” oculto para dar sentido a una suma o producto de un solo número. En el caso de la suma, el número único se agrega a 0 para que la suma de la lista sea solo el número único. Y así, cada lista contiene un cero “virtual” (para fines de adición) incluso cuando la lista está vacía. Del mismo modo, en el caso del producto, el número único se multiplica por 1, de modo que el producto de la lista es solo el número único. Por lo tanto, cada lista contiene una “virtual” (para fines de multiplicación) incluso cuando la lista está vacía. Lo importante es que quede un elemento de identidad para cada operación considerada. Esencialmente, la multiplicación completa un 1 cada vez que solicita multiplicación, pero no proporciona ambos argumentos para multiplicar.

Answer 5

Parafraseando la respuesta habitual, solo hay una forma de no hacer nada. Pero si se suponía que [math] 0! [/ Math] era [math] 0 [/ math] en nuestro sistema matemático y alguien preguntó por qué, habría sido una respuesta igualmente inteligente e ingeniosa, porque no hay una manera de hacer nada.

La cantidad de formas de organizar n es una forma útil de pensar en n factorial. Útil.

[math] _n \ mathrm {P} _n [/ math] resulta ser [math] n! [/ math] . [math] n! [/ math] no se define como [math] _n \ mathrm {P} _n [/ math].

Entonces, preguntemos nuevamente, ¿por qué [math] 0! [/ Math] es igual a [math] 1 [/ math]?

Es una suposición. Es una suposición en la definición de factorial.

[matemáticas] 1! = 1 * 0! [/ Matemáticas]
Asumimos / definimos [matemáticas] 0! [/ math] será [math] 1 [/ math].
Para que [matemáticas] 1! = 1 [/ matemáticas]

La definición de la función factorial:

.
[matemáticas] 0! = 1 [/ matemáticas]
No escribimos: [matemáticas] 0! = 0 * (- 1)! [/matemáticas]
[matemáticas] (-1)! [/ math] no está definido porque, como se ve arriba, no está definido:

---

La razón de esta suposición es simplemente la conveniencia.

Si

• no asumimos que [math] 0! [/ math] sea [math] 1 [/ math],
• lo mantuvo indefinido
• solo definió [math] 1! = 1 [/ math], y se detuvo allí, en lugar de cero
• y otros factores derivados de [math] 1! [/ math],

Entonces, muchas fórmulas necesitarán una revisión, con énfasis en casos especiales cuando [math] n = 0 [/ math]. Ejemplo: permutación, combinación, función exponencial, q-analógico, etc.

Citando la justificación del producto vacío de Wikipedia

En otras palabras, un “producto”
con un solo factor evalúa a ese factor, mientras que un “producto”
sin factores en absoluto se evalúa como 1. Permitir un “producto” con solo uno o cero factores reduce el número de casos a considerar en muchas fórmulas matemáticas. Dichos “productos” son puntos de partida naturales en pruebas de inducción, así como en algoritmos. Por estas razones, el “producto vacío es una convención” es una práctica común en matemáticas y programación de computadoras.

Relevancia de definir productos vacíos

La noción de un producto vacío es útil por la misma razón que el número cero y el conjunto vacío son útiles : si bien parecen representar nociones bastante interesantes, su existencia permite una presentación matemática mucho más corta de muchos temas.

Por ejemplo, los productos vacíos 0! = 1 yx 0 = 1 acortar la notación de la serie de Taylor (ver cero a la potencia de cero para una discusión cuando x = 0). Del mismo modo, si M es una matriz n × n , entonces M 0 es la matriz de identidad n × n .

Como otro ejemplo, el teorema fundamental de la aritmética dice que cada entero positivo puede escribirse de manera única como un producto de números primos. Sin embargo, si no permitimos productos con solo 0 o 1 factores, entonces el teorema (¡y su prueba!) Se hace más largo. [4] [5]

Se pueden encontrar más ejemplos del uso del producto vacío en matemáticas en el teorema binomial (que supone e implica que x 0 = 1 para todas las x ), número de Stirling, teorema de König, tipo binomial, serie binomial, operador de diferencia y símbolo de Pochhammer .

Tenga en cuenta el uso de la palabra útil. Es apto.

Asumimos lo que hace que nuestras matemáticas sean más fáciles y al mismo tiempo lo mantienen consistente. Esta no es una práctica exclusiva de la función factorial. [Ej: Axioma de elección].

Pregunta / concepto y respuesta relacionados: ¿Por qué x ^ 0 = 1, para x ≠ 0?

Answer 6

Gracias por A2A,

Por el significado convencional de factoriales queremos decir que es el producto de todos los números naturales menores que él (incluido el número dado). Entonces, si vamos por definición, [matemáticas] 0! [/ Matemáticas] se ve más absurdo y sin sentido. Pero en las matemáticas regulares, incurrimos tanto en esta entidad que es nuestra necesidad ahora definir este [matemático] 0! [/ Matemático]. Discutiré aquí 2 métodos para abordar su pregunta. Entonces, comencemos con el primero (matemático).

Es una notación bien conocida que:

[matemáticas] n! = n \ cdot (n – 1)! [/ math]

Este hecho puede reescribirse como:

[matemáticas] (n – 1)! = \ frac {n!} {n} [/ matemáticas]

O, si lo viste desde una perspectiva general, podría escribirlo como:

[matemáticas] n! = \ frac {(n + 1)!} {(n + 1)} [/ math]

Esto significa que podemos hacer estas cosas con éxito:

[matemáticas] \ por lo tanto 2! = \ frac {3!} {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto 1! = \ frac {2!} {2} [/ matemáticas]

Si todo lo anterior puede continuar, entonces también podemos poner [math] n = 0 [/ math].

[matemáticas] \ por lo tanto 0! = \ frac {1!} {1} [/ matemáticas]

Esta [matemática] \ frac {1!} {1} [/ matemática] es solo 1. Por lo tanto,

[matemáticas] 0! = 1 [/ matemáticas]

Pero aparte de esto, ¿cómo puedo probar la declaración? De hecho, hay muchos problemas cuyas respuestas son matemáticamente correctas pero lógicamente son absurdas.

O, en general, sin las matemáticas, ¿cómo puedes probar 0? = 1?

Bueno, la notación práctica para factoriales se puede ver en la cantidad de formas de seleccionar esa cantidad de objetos. Al igual que para la selección de 1 objeto, solo tenemos una forma. Para dos objetos tenemos cuatro formas. De esta manera para seleccionar n objetos tenemos n! formas. Y si seguimos así, para seleccionar 0 objetos, solo tenemos una forma: no seleccionar ninguno de ellos.

Nota: Con esta forma matemática, hemos concluido un resultado importante que no se puede lograr a través de las palabras. Es que solo hay una forma de seleccionar 0 objetos (muchos podrían estar pensando que, dado que hay cero objetos para elegir, podemos elegir tantos como queramos. Pero, de hecho, esto está mal)

~ paz: p ~

Answer 7

¡Sabemos que [matemáticas] n! = n (n-1)! [/matemáticas]

Sabemos 1! = 1 (¿por qué?)

[matemáticas] \ rightarrow 2! = 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Rightarrow 2 (1)! = 2 [/ matemáticas]

o [matemáticas] 1! = 1 [/ matemáticas]

Para satisfacer la misma ecuación para [matemáticas] 1! [/ Matemáticas]

¡Podemos escribir [matemáticas] 1! = 1 * 0! [/matemáticas]

Desde [matemáticas] 1! = 1 [/ matemáticas] desde arriba,

[matemáticas] 1 = 1 * (0)! [/ matemáticas]

O simplemente [matemáticas] 0! = 1 [/ matemáticas]

Espero que esté claro!

Answer 8

se refiere al número de permutaciones de n objetos distintos.
P.ej. para el conjunto,

hay 3! = 3x2x1 = 6 permutaciones.

Ahora piensa en como el número de permutación de ningún objeto!
¿Cuántos arreglos existen donde no se usa ninguno de los objetos?
Solo uno.
Esta es la definición intuitiva detrás de 0! = 1.

Answer 9

Hay dos formas diferentes de entender el factorial 0.
(En matemáticas, [matemáticas] n! [/ Matemáticas] denota factorial n)

• Manera simple:

Como todos sabemos, factorial tiene la siguiente propiedad:
[matemáticas] n! = n \ cdot (n-1)! [/ matemáticas]
para [matemáticas] n = 2,3,4,… [/ matemáticas]
Entonces, ¿qué pasa si [matemáticas] n = 1 [/ matemáticas]?
Sería natural tener eso
[matemáticas] 1! = 1 \ cdot0! [/ matemáticas]
Por lo tanto, [math] 0! [/ Math] debería ser [math] 1 [/ math] para la integridad de esta propiedad.

• Si quieres entenderlo más profundamente:

Factorial es en realidad una versión especial de la función gamma.
Función gamma:
[matemáticas] \ Gamma (t) = \ int_ {0} ^ {\ infty} x ^ {t-1} e ^ {- x} \ mathrm {d} x [/ math]
Cuando [math] t [/ math] es un entero positivo, digamos [math] n [/ math], la función se degrada a
[matemáticas] \ Gamma (n) = (n-1)! [/ matemáticas] (función factorial)
Por lo tanto, deje que [math] n = 1 [/ math] ([math] t = 1 [/ math]), obtengamos el valor de [math] 0! [/ Math] a través de la función gamma.
Cuando [matemáticas] t = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ Gamma (t) = \ Gamma (1) = \ int_ {0} ^ {\ infty} x ^ {t-1} e ^ {- x} \ mathrm {d} x = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- x} \ mathrm {d} x = 1 [/ math]

Para más información: función Gamma

Answer 10

¡Comencemos por entender qué es 3! ?

Puede entenderse como el número de formas posibles en que 3 objetos se pueden organizar en un orden distinto. Por ejemplo, tome los números 1,2 y 3. Se pueden organizar de la siguiente manera:

1 2 3

1 3 2

2 3 1

2 1 3

3 1 2

3 2 1

Que es igual a 6.

Por lo tanto [matemáticas] 3! = 3 * 2 * 1 = 6. [/ Matemáticas]

¿Cuál es el número de formas en que se pueden organizar “0 objetos”?

Si piensa intuitivamente, se pueden organizar exactamente de 1 manera …

Entonces, por inferencia 0! = 1

Además … Para cualquier número n debe satisfacer que

[matemáticas] n! = n * (n-1)! [/ matemáticas]

poner n = 1

Obtenemos,

[matemáticas] 1! = 1 * (1-1)! [/ Matemáticas]

[matemáticas] 1! = 1 * 0! [/ matemáticas]

De esto podemos decir

[matemáticas] 0! = 1! / 1 = 1 [/ matemáticas]

Answer 11

Comencemos con lo que es factorial. Si tengo un número entero ‘n’, entonces

¡norte! = nx (n-1) x (n-2) x… 3 x 2 x 1.

¡Ahora volviendo a 0 !, la respuesta más simple sería competir con un patrón. Tomemos n = 5, entonces

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1

Ahora vea el patrón:
4! = 5! / 5 = 24
3! = 4! / 4 = 6
2! = 3! / 3 = 2
1! = 2! / 2 = 1
0! = 1! / 1 = 1

---

Otra forma de explicar es n! es la cantidad de formas en que uno puede organizar n objetos. Digamos que si tienes tres cajas A, B y C en una mesa , tienes 3! = 6 formas de organizarlas. Déjame sacar C, entonces tienes 2 cajas que se pueden organizar de 2! = 2 formas. Y si elimino B también, te quedan A que se puede organizar de 1! = 1 manera. Y cuando quito A de la tabla , entonces lo que me queda es

Entonces, literalmente, hay 1 forma de organizar 0 objetos en la tabla, ya que no hay ningún objeto en absoluto. Este es un poco filosófico.

---

Vamos a avanzar un poco aquí. Considere la siguiente gráfica entre números enteros y su valor factorial

En teoría, también deberíamos obtener valores entre 2 y 3. ¿Qué tal factorial de 2.5? ¿Qué te parece 2.5? sería ? Y los matemáticos generalizaron este factorial fraccional a la función Gamma dado por:

Además, si n es un número entero entonces,

[matemáticas] \ Gamma \ left (n \ right) = (n-1)! [/matemáticas]

que también da 1 por 0!

Ahora, ¿qué sentido tiene tener una función que le dará un factorial entre números enteros cuando no puede organizar 2.5 objetos en real? Por lo tanto, es una generalización y resulta ser muy útil en muchos casos, como la probabilidad. Puedes usarlos en fórmulas de probabilidad. Considere una entidad continua como TIME, a diferencia de los objetos discretos que estábamos considerando hasta ahora, los eventos continuos como TIME requieren una idea más generalizada de factorial factorial o fraccional.

Fuente: Numberphile

Answer 12

Hay una solución muy interesante y fácil para esta pregunta.

¡Sabemos que 5! = 120, 4! = 24, 3! = 6, 2! = 2, 1! = 1

¡Ahora podemos escribir 4! como 5! / 5

Del mismo modo 3! como 4! / 4, 2! = 3! / 3, 1! = 2! / 2

Por lo tanto, continuando con el patrón anterior, – 0! = 1! / 1 que es igual a 1.

Para los que no saben

El factorial de un número se define de la siguiente manera:

¡norte! = n * (n-1) * (n-2) *… ..3 * 2 * 1

donde el signo de exclamación es el símbolo de un factorial.

Espero que esto ayude.

Answer 13

Factorial se define de muchas maneras:

1. ¡norte! = n (n-1)! :

1! = 1 (1–1)!

1 = 1 (0!)

0! = 1

2. [matemáticas] n! = \ frac {d ^ nx ^ n} {dx ^ n} [/ math]

0! = x ^ 0 = 1

3. [matemáticas] n! = \ Gamma (n + 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] 0! = \ Gamma (1) = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] [\ Gamma (n + 1) = n \ Gamma (n)] [/ matemáticas] es la función Gamma

Answer 14

Definimos [matemáticas] 0! = 1 [/ matemáticas] por la misma razón que definimos [matemáticas] 2 ^ 0 = 1 [/ matemáticas]. Un producto vacío, el producto de nada en absoluto, se considera muy naturalmente como el elemento neutral de la multiplicación, que es [matemática] 1 [/ matemática], y sería muy perjudicial y engañoso asignarle el valor [matemática] 0 [/ math], que es el elemento neutral de la suma .

Para una mayor intuición sobre productos vacíos, vea esta respuesta sobre [matemáticas] 2 ^ 0 = 1 [/ matemáticas].

Answer 15

un factorial de un número se define como
n! = 1 * 2 * 3 *… * (n-1) * n ——- (1)
pero con esta fórmula no podemos demostrar que el 0! = 1;
pero para probar eso, considere
n! = n * (n-1)! ———— (2) [que es igual a (1)]
así que para encontrar el 1! por la (2) nd fórmula, podemos escribir
1! = 1 * (1-1)!
que da 1! = 1 * 0!
sabemos que 1! es 1. por lo tanto 0! debe ser 1.

Answer 16

En primer lugar, debemos saber qué factorial es, ¡no es un operador simple con definición n! = n (n-1) (n-2) .. * 1
Si recuerda cuándo se le enseñó el concepto de factorial, fue el comienzo del capítulo ” Permutaciones y combinaciones “.
¿Qué significa factorial?
Es la cantidad de formas en que puede organizar un conjunto dado de objetos. Si tienes n numero
Por ejemplo, tengo tres letras A, B y C. Entonces, puedo organizarlas como
A B C
ACB
BAC
BCA
TAXI
CBA
¡Puedo organizar mis 3 letras de 6 maneras y sabemos 3! = 6
Del mismo modo, si tuviera A, B, C y D, ¡puedo organizarlos en 4! es decir, de 24 maneras diferentes.
Ahora, si no tienes nada, nada en absoluto. ¿De cuántas maneras puedes representarlo?
– Solo de una manera que no tienes nada.
¡Eso no es más que 0! = 1

Y la prueba teórica es la siguiente
¡norte! = n (n-1) (n-2) … 1
n! = n (n-1)!
ahora pon n = 1
entonces 1! = 1 * 0!
lo que nos da 0! = 1

Answer 17

Bueno, tenga en cuenta que el factorial no surgió de la naturaleza; Es simplemente un símbolo inventado por los matemáticos que tiene ciertas propiedades útiles. Como notó, ¡la definición del factorial no tiene sentido cuando se aplica a 0! (¿cómo no puedes multiplicar nada?), ¡entonces es natural que los matemáticos que inventaron y que usan el factorial DEFINIRÍAN 0! ser igual a lo que sea más simple y lo que haga que sus fórmulas sean más fáciles de usar.

Por ejemplo, una manera simple de entender lo que significa el factorial es decir: “dado un conjunto de n objetos, n! Es el número de formas diferentes de organizar esos objetos”. Esto tiene sentido para, por ejemplo, n = 3: hay seis formas diferentes de organizar un conjunto de tres objetos (¡pruébelo usted mismo y vea!) Pero solo hay una forma de organizar un conjunto de 0 objetos, ya que no hay nada reordenar. Si no establecemos 0! = 1, esta descripción no funcionaría.

Otra fórmula simple es, para n> m, n! / M! = (nm) !. Esto funciona si 0! = 1: n! / 0! = n! / 1 = n! = (n-0) !. Pero si tuviéramos cualquier otro valor para 0 !, como 0, esta fórmula no tendría sentido y tendríamos que cambiarla para decir “n! / M! = (Nm)! A menos que m = 0”, que es mucho más largo y menos hermoso!

Hay innumerables otros ejemplos de por qué 0! = 1 es útil.

¡Buena suerte!

Answer 18

Por lo general, n factorial se define de la siguiente manera:

Pero esta definición no da un valor para 0 factorial, por lo que una pregunta natural es: ¿cuál es el valor aquí de 0! ?

¡Una primera forma de ver ese 0! = 1 es trabajando hacia atrás. Lo sabemos:

1! = 1
2! = 1! * 2
2! = 2
3! = 2! * 3
3! = 6
4! = 3! * 4
4! = 24

Podemos cambiar esto:

4! = 24
3! = 4! / 4
3! = 6
2! = 3! / 3
2! = 2
1! = 2! / 2
1! = 1
0! = 1! / 1
0! = 1

De esta manera, un valor razonable para 0! puede ser encontrado.

¿Cómo podemos caber 0! = 1 en una definición para n! ? Reescribamos la definición habitual con recurrencia:

1! = 1
¡norte! = n * (n-1)! para n> 1

¡Ahora es simple cambiar la definición para incluir 0! :

0! = 1
¡norte! = n * (n-1)! para n> 0

¿Por qué es importante calcular 0! ?

Una aplicación importante de los factoriales es el cálculo de combinaciones de números:

¡norte!
C (n, k) = ——–
k! (nk)!

C (n, k) es el número de combinaciones que puede hacer de k objetos de un conjunto dado de n objetos. Vemos que C (n, 0) y C (n, n) deberían ser iguales a 1, ¡pero requieren que 0! ser usado.

¡norte!
C (n, 0) = C (n, n) = —-
n! 0!

Entonces 0! = 1 se ajusta perfectamente a lo que esperamos que sea C (n, 0) y C (n, n).

¿Se pueden calcular también los factoriales para números no enteros? Sí, hay una función famosa, la función gamma G (z), que extiende los factoriales a números reales e incluso complejos. La definición de esta función, sin embargo, no es simple:

inf.
G (z) = INT x ^ (z-1) e ^ (- x) dx
0 0

Tenga en cuenta que la extensión de n! por G (z) no es lo que podría pensar: cuando n es un número natural, entonces

G (n) = (n-1)!

La función gamma no está definida para los enteros cero y negativo, a partir de los cuales podemos concluir que no existen factores factoriales de enteros negativos.

Answer 19

Esta es mi explicación:
El número total de formas de seleccionar objetos “r” de “n” objetos diferentes es
nCr .. que es igual a = (n!) / (r!) (nr) !.

Ahora, por lógica trivial, sabemos que el número total de formas de seleccionar todos los objetos “n” de los “n” objetos diferentes es uno.

Entonces, en nuestra expresión para nCr, si conectamos r = n, obtenemos

¡norte! / n! (nn) !.
Esto es igual a

1/0 !.

Ahora, esto tiene que ser igual a 1, lo que no nos da opción a esperar DEFINIR
0! = 1.

Todos los demás casos donde r> n es normal …

en el caso de r = n, tuvimos que definir 0! = 1 para coherencia lógica.

Answer 20

La idea del factorial (en términos simples) se usa para calcular el número de permutaciones (combinaciones) de organizar un conjunto de n números. Se puede decir que un conjunto vacío solo se puede ordenar de una manera, por lo que 0 ! = 1 .

Además,

Puedes definir

exp (x) como

1 + (x ^ 1/1!) + (X ^ 2/2!) + (X ^ 3/3!) +….

pero lo siguiente parece más uniforme:

(x ^ 0/0!) + (x ^ 1/1!) + (x ^ 2/2!) + (x ^ 3/3!) +….

Estos solo son iguales si

0! = (1/0!) = 1

No es una prueba, pero tiene sentido correcto 🙂 ..

Espero eso ayude..