Deje [math] I = \ int \ frac {1} {\ sin (2x) + \ sin (x)} dx [/ math]
[matemáticas] = \ int \ frac {1} {\ sin (x) (2 \ cos (x) + 1)} dx [/ matemáticas]
Deje [math] t = \ tan (\ frac {x} {2}) [/ math]
[matemáticas] 2 \ arctan (t) = x [/ matemáticas]
- Deje que [math] \ alpha, \ beta \ in \ mathbb R [/ math] tal que [math] \ displaystyle \ lim _ {x \ to 0} \ dfrac {x ^ 2 \ sin (\ beta x)} { \ alpha x – \ sin x} = 1 [/ matemáticas]. ¿Cuál es el valor de [matemáticas] 6 (\ alpha + \ beta) [/ matemáticas]?
- ¿Es posible expresar un polinomio en forma p / q donde pyq son polinomios del mismo grado que el polinomio dado? Si es así, ¿cómo?
- ¿Por qué es que 2 // 2 = 1 y 2/2 = 1.0 en Python?
- Cómo integrar (ax + b) / (cx + d) ^ 2
- ¿Qué son los sistemas criptográficos que codifican una clave secreta A a B, usan B para cifrar C y luego requieren A para descifrar C?
[matemáticas] \ implica \ frac {2} {1 + t ^ 2} dt = dx [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sin (x) = 2 \ sin (\ frac {x} {2}) \ cos (\ frac {x} {2}) [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {2 \ tan (\ frac {x} {2})} {\ sec ^ 2 (\ frac {x} {2})} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {2t} {1 + t ^ 2} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ cos (x) = 1 – 2 \ sin ^ 2 (\ frac {x} {2}) [/ matemáticas]
[matemáticas] = 1 – \ frac {2 \ tan ^ 2 (\ frac {x} {2})} {\ sec ^ 2 (\ frac {x} {2})} [/ matemáticas]
[matemáticas] = 1 – \ frac {2t ^ 2} {1 + t ^ 2} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {1 – t ^ 2} {1 + t ^ 2} [/ matemáticas]
Entonces, [matemáticas] I = \ int \ frac {\ frac {2} {1 + t ^ 2}} {\ frac {2t} {1 + t ^ 2} (2 \ frac {1 – t ^ 2} { 1 + t ^ 2} + 1)} dt [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ int \ frac {1 + t ^ 2} {t (2 – 2t ^ 2 + 1 + t ^ 2)} dt [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ int \ frac {1 + t ^ 2} {t (3 – t ^ 2)} dt [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ int \ frac {1} {t (\ sqrt {3} – t) (\ sqrt {3} + t)} dt + \ int \ frac {t} {3 – t ^ 2} dt [ /matemáticas]
[matemáticas] = I_1 + I_2 [/ matemáticas]
Donde [matemáticas] I_1 = \ int \ frac {1} {t (\ sqrt {3} – t) (\ sqrt {3} + t)} dt [/ matemáticas]
y [matemáticas] I_2 = \ int \ frac {t} {3 – t ^ 2} dt [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica I_2 = \ int – \ frac {-2t} {2 (3 – t ^ 2)} dt [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ int – \ frac {d (3 – t ^ 2)} {2 (3 – t ^ 2)} [/ matemáticas]
[matemáticas] = – \ frac {1} {2} \ ln (3 – t ^ 2) [/ matemáticas]
Ahora vamos a resolver [matemáticas] I_1 [/ matemáticas]
Aquí necesitamos aplicar la técnica de fracción parcial, para eso supongamos
[matemáticas] \ frac {A} {t} + \ frac {B} {(\ sqrt {3} – t)} + \ frac {C} {(\ sqrt {3} + t)} = \ frac {1 } {t (\ sqrt {3} – t) (\ sqrt {3} + t)} [/ math]
[matemáticas] \ implica A (\ sqrt {3} – t) (\ sqrt {3} + t) + Bt (\ sqrt {3} + t) + Ct (\ sqrt {3} – t) = 1 [/ matemáticas]
Si [matemáticas] t = 0 [/ matemáticas]
entonces nosotros tenemos,
[matemáticas] 3A = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica A = \ frac {1} {3} [/ matemáticas]
Si [matemáticas] t = \ sqrt {3} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica 6B = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica B = \ frac {1} {6} [/ matemáticas]
Si [matemáticas] t = – \ sqrt {3} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica 6C = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica C = \ frac {1} {6} [/ matemáticas]
Entonces, [matemáticas] I_1 = \ int \ frac {1} {3t} dt + \ int \ frac {1} {6 (\ sqrt {3} – t)} dt + \ int \ frac {1} {6 ( \ sqrt {3} + t)} dt [/ math]
[matemáticas] = \ frac {1} {3} \ ln (t) – \ frac {1} {6} \ ln (\ sqrt {3} – t) + \ frac {1} {6} \ ln (\ sqrt {3} + t) [/ math]
Entonces, [matemáticas] I = \ frac {1} {3} \ ln (t) – \ frac {1} {6} \ ln (\ sqrt {3} – t) + \ frac {1} {6} \ ln (\ sqrt {3} + t) – \ frac {1} {2} \ ln (3 – t ^ 2) + C [/ matemáticas]
= [matemáticas] \ frac {1} {3} \ ln (\ tan (\ frac {x} {2})) – \ frac {1} {6} \ ln (\ sqrt {3} – \ tan (\ frac {x} {2})) + \ frac {1} {6} \ ln (\ sqrt {3} + \ tan (\ frac {x} {2})) – \ ln (3 – \ frac {1 } {2} \ tan ^ 2 (\ frac {x} {2})) + C [/ math]
