Una pregunta más interesante sería requerir que el grado impar sea mayor que el grado par. En ese caso, la respuesta es no y la prueba es simple. Si nunca se cruzan, su diferencia nunca es cero. Pero su diferencia es un polinomio de grado impar, y cada polinomio de grado impar tiene al menos un cero real.
Obviamente, esta idea falla si el grado par es mayor porque la diferencia sería un polinomio de grado par. Y, por supuesto, un polinomio de grado par no puede tener un cero real.
Es fácil usar esta falla de prueba para construir un contraejemplo. Comience con un polinomio de grado par sin cero real.
[matemáticas] f (x) = x ^ 4 + 1 [/ matemáticas]
- ¿Cuál es la solución de x ^ x = 0.5?
- ¿De cuántas maneras diferentes puedes escribir d ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) / 16?
- En un sentido general, ¿cómo expresamos [math] \ frac {\ partial ^ 2 {f (x, y)}} {\ partial {x} \ partial {y}} [/ math]?
- ¿Cuál es el HCF de x ^ 2, x ^ 4, x ^ 5 =?
- Cómo demostrar que [matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ nk ^ 3 = \ left (\ sum_ {k = 0} ^ nk \ right) ^ 2 [/ math]
No tiene términos de grados impares, así que traduzca para garantizar términos de grados impares.
[matemáticas] \ hat f (x) = (x + 1) ^ 4 + 1 = x ^ 4 + 4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 4x + 2 [/ matemáticas]
Debe quedar claro que dado que para todos [math] x \ in \ mathbb R [/ math], [math] f (x) \ ne 0 [/ math], entonces también para todos [math] x \ in \ mathbb R [/ math], [math] \ hat f (x) \ ne 0 [/ math].
Entonces, para todos [math] x \ in \ mathbb R [/ math],
[matemáticas] x ^ 4 + 4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 4x + 2 \ ne 0 [/ matemáticas]
Entonces, para todos [math] x \ in \ mathbb R [/ math],
[matemáticas] x ^ 4 + 6x ^ 2 + 4x + 2 \ ne -4x ^ 3 [/ matemáticas]
Observe que el lado izquierdo es un polinomio de grado par y el lado derecho es un polinomio de grado impar y, por construcción, nunca son iguales, por lo que nunca se cruzan.