¿Cuál es el valor de esta integral (x ^ a) / (1 + x ^ n) sin usar residuos?

Answer 1

Respuesta incompleta:

Hice mi mejor esfuerzo, pero no estoy seguro de si hay una buena representación de la respuesta final.

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Su integral se puede simplificar utilizando la integración por partes infinitamente muchas veces. La primera iteración da

[matemáticas] \ displaystyle I = \ int \ frac {x ^ a} {1 + x ^ n} \, \ mathrm dx = \ frac {x ^ {a + 1}} {(a + 1) (1 + x ^ n)} + \ frac n {a + 1} \ int \ frac {x ^ {a + n}} {(1 + x ^ n) ^ 2} \, \ mathrm dx \ tag * {} [/ math ]

Usando la integración por partes en la integral en el lado derecho, tenemos

[matemáticas] \ displaystyle I = \ frac {x ^ {a + 1}} {(a + 1) (1 + x ^ n)} + \ frac {nx ^ {a + n + 1}} {(a + 1) (a + n + 1) (1 + x ^ n) ^ 2} + \ frac {2n ^ 2} {(a + 1) (a + n + 1)} \ int \ frac {x ^ {a + 2n}} {(1 + x ^ n) ^ 3} \, \ mathrm dx \ tag * {} [/ math]

Haciéndolo infinitamente muchas veces, eventualmente obtenemos

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {multline} I = \ frac {x ^ {a + 1}} {(a + 1) (1 + x ^ n)} + \ frac {nx ^ {a + n + 1} } {(a + 1) (a + n + 1) (1 + x ^ n) ^ 2} + \ frac {2n ^ 2} {(a + 1) (a + n + 1)} \\\ frac {x ^ {a + 2n + 1}} {(a + 2n + 1) (1 + x ^ n) ^ 3} + \ frac {6n ^ 3x ^ {a + 3n + 1}} {(a + 1 ) (a + n + 1) (a + 2n + 1) (a + 3n + 1) (1 + x ^ n) ^ 4} + \ cdots \ end {multline} \ tag * {} [/ math]

Y escribir esto en el formulario de resumen (lo intenté, notificarme si algo está mal o puede simplificarse)

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align *} I & = \ frac {x ^ {a + 1}} {(a + 1) (1 + x ^ n)} \ left [1+ \ frac {nx ^ n } {\ prod \ limits_ {k \ leq1} (a + kn + 1) (1 + x ^ n)} + \ frac {(nx ^ n) ^ 2} {\ prod \ limits_ {k \ leq2} (a + kn + 1) (1 + x ^ n) ^ 2} + \ cdots \ right] \\ & = \ frac {x ^ {a + 1}} {(a + 1) (1 + x ^ n)} \ sum \ limits_ {p \ geq0} \ frac {(nx ^ n) ^ p} {\ prod \ limits_ {k \ leq p} (a + kn + 1) (1 + x ^ n) ^ p} \ end {alinear *} \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Donde el límite inferior [matemáticas] k \ leq p [/ matemáticas] es mi notación abreviada para

[matemática] \ displaystyle \ prod \ limits_ {k \ leq p} f (x) = \ prod \ limits_ {k = 1} ^ {p} f (x) \ tag * {} [/ math]

Después de eso, no estoy muy seguro de cómo continuar. La intuición me dice que existe una fuerte relación con la función hipergeométrica, debido al símbolo tipo pochhammer y los diversos factores y potencias. Pero no estoy seguro de cómo transformarlo.

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Una forma secundaria es darse cuenta de que la expansión de [matemáticas] x ^ a / (1 + x ^ n) [/ matemáticas] es simplemente

[matemática] \ displaystyle \ frac {x ^ a} {1 + x ^ n} = \ sum \ limits_ {k \ geq0} (- 1) ^ kx ^ {kn + a} \ tag * {} [/ math]

E integre la suma infinita por término. Al hacerlo, y recordando la definición del Trascendente Hurwitz Lerch , tenemos

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {x ^ a} {1 + x ^ n} = \ frac {x ^ {a + 1}} n \ Phi \ left (-x ^ n, 1, \ tfrac {a +1} n \ right) \ tag * {} [/ math]

Reescribiendo los términos, podemos representarlo en términos de la función hipergeométrica estándar; que es lo que da Wolfram Alpha.

Answer 2

[matemáticas] I = \ displaystyle \ int \ dfrac {x ^ a} {1 + x ^ n} dx [/ matemáticas]

[matemática] 1 + x ^ n [/ matemática] tiene factores [matemática] n [/ matemática].

[matemáticas] x ^ n = -1 = \ cos \ pi + i \ sin \ pi [/ matemáticas]

Caso I :: [matemática] n [/ matemática] es impar [matemática] = 2m + 1 [/ matemática]

Escribamos [matemáticas] x ^ n = -1 = \ cos (2r + 1) \ pi + i \ sin (2r + 1) \ pi [/ matemáticas]

[matemáticas] x_r = \ left (\ cos (2r + 1) \ pi + i \ sin (2r + 1) \ pi \ right) ^ {\ dfrac 1 {n}} [/ math]

[matemática] = \ cos \ dfrac {(2r + 1) \ pi} {n} + i \ sin \ dfrac {(2r + 1) \ pi} {n} = p_r + iq_r (decir) [/ math]

[matemáticas] x _ {- r-1} [/ matemáticas] será su conjugado. = [matemáticas] \ cos \ dfrac {(2r + 1) \ pi} {n} -i \ sin \ dfrac {(2r + 1 ) \ pi} {n} = p_r-iq_r [/ math]

Encontramos [math] x_m = \ cos \ pi + i \ sin \ pi = -1 [/ math]; Esta es la única raíz real. otros son conjugados complejos.

Ahora [math] x ^ n + 1 = \ displaystyle \ prod _ {r = -m} ^ m (x-x_r) [/ math]

Mediante el uso de fracciones parciales

[matemáticas] \ dfrac {x ^ a} {1 + x ^ n} = \ displaystyle \ sum_ {r = -m} ^ m \ dfrac {A_r} {x-x_r} [/ math]

Para obtener [math] A_r [/ math] multiplique por [math] x-x_r [/ math] y ponga [math] x-x_r [/ math]

Sin embargo, uno no debe tratar de cancelar factores en LHS y sustituirlos. Es simplemente imposible

[matemáticas] A_r = \ displaystyle \ lim_ {x \ to x_r} \ dfrac {x ^ a (x-x_r)} {1 + x ^ n} [/ matemáticas] Esto es [matemáticas] 0/0 [/ matemáticas] forma.Utilizando la regla de L’Hospital

[matemáticas] A_r = \ displaystyle \ lim_ {x \ to x_r} \ dfrac {x_r ^ a * 1} {nx ^ {n-1}} [/ math]

= [matemáticas] \ dfrac {x_r ^ {a + 1-n}} {n} = \ dfrac {-x_r ^ {a + 1}} {n} ya que x ^ n = -1 [/ matemáticas]

[matemáticas] A_m = \ dfrac {-x_m ^ {a + 1}} {n} = \ dfrac {- (- 1) ^ {a + 1}} {n} = \ dfrac {(-1) ^ {a }} {n} [/ matemáticas]

Su valor depende de a; Si a es par [matemáticas] A_m = \ dfrac {1} {n} [/ matemáticas]; Si a es impar [math] A_m = \ dfrac {-1} {n} [/ math] y si a no es un entero, será complejo.

La integral correspondiente a r = m es diferente de las demás.

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ dfrac {A_m} {x-x_m} dx = \ int \ dfrac {\ dfrac {(-1) ^ {a}} {n}} {x + 1} dx = \ boxed { \ dfrac {(-1) ^ {a}} {n} \ ln | x + 1 |} [/ math]

Para [math] r \ neq m [/ math] podemos combinar conjugados.

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ left (\ dfrac {A_r} {x-x_r} + \ dfrac {A _ {- r}} {x-x _ {- r}} \ right) dx = \ int \ left (\ dfrac {A_r} {x-x_r} + \ dfrac {\ overline {A_ {r}}} {x- \ overline {x_ {r}}} \ right) dx [/ math]

= [matemáticas] \ displaystyle \ int \ left (\ dfrac {(A_r + \ overline {A_ {r}}) x-A_r \ overline {x_ {r}} – \ overline {A_ {r}} x_r} {(x -x_r) (x- \ overline {x_ {r}})} \ right) dx [/ math]

Se puede demostrar que [math] A_r + \ overline {A_ {r}} = – 2 \ cos \ dfrac {(2r + 1) (a + 1) \ pi} {n} [/ math]

y

[matemáticas] A_r \ overline {x_ {r}} + \ overline {A_ {r}} x_r = -2 \ cos \ dfrac {(2r + 1) a \ pi} {n} [/ math]

Entonces la integral se convierte

[matemáticas] \ displaystyle \ int – \ left (\ dfrac {2x \ cos \ dfrac {(2r + 1) (a + 1) \ pi} {n} -2 \ cos \ dfrac {(2r + 1) a \ pi} {n}} {x ^ 2-2p_r x + 1} \ right) dx [/ math]

[matemáticas] = [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ int – \ left (\ dfrac {2 (x-p_r) \ cos \ dfrac {(2r + 1) (a + 1) \ pi} {n} + 2p_r \ cos \ dfrac {(2r +1) (a + 1) \ pi} {n} -2 \ cos \ dfrac {(2r + 1) a \ pi} {n}} {x ^ 2-2p_r x + 1} \ right) dx [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ displaystyle – \ cos \ dfrac {(2r + 1) (a + 1) \ pi} {n} \ ln | x ^ 2-2p_r x + 1 | – \ int \ left (\ dfrac {2p_r \ cos \ dfrac {2 (2r + 1) (a + 1) \ pi} {n} -2 \ cos \ dfrac {(2r + 1) a \ pi} {n}} {(x-p_r) ^ 2 + q_r ^ 2} \ right) dx [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle – \ cos \ dfrac {(2r + 1) (a + 1) \ pi} {n} \ ln | x ^ 2-2p_r x + 1 | – \ dfrac {2p_r \ cos \ dfrac { (2r + 1) (a + 1) \ pi} {n} -2 \ cos \ dfrac {(2r + 1) a \ pi} {n}} {q_r} \ tan ^ {- 1} \ dfrac {x -p_r} {q_r} [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle – \ cos \ dfrac {(2r + 1) (a + 1) \ pi} {n} \ ln | x ^ 2-2x \ cos \ dfrac {(2r + 1) \ pi} { n} +1 | – \ dfrac {2 \ cos \ dfrac {(2r + 1) \ pi} {n} \ cos \ dfrac {(2r + 1) (a + 1) \ pi} {n} -2 \ cos \ dfrac {(2r + 1) a \ pi} {n}} {\ sin (\ dfrac {(2r + 1) \ pi} {n})} \ tan ^ {- 1} \ dfrac {x- \ cos \ dfrac {(2r + 1) \ pi} {n}} {\ sin (\ dfrac {(2r + 1) \ pi} {n})} [/ math]

Esto se puede simplificar como

[matemáticas] = \ displaystyle – \ cos \ dfrac {(2r + 1) (a + 1) \ pi} {n} \ ln | x ^ 2-2x \ cos \ dfrac {(2r + 1) \ pi} { n} +1 | -2 \ sin \ dfrac {(2r + 1) (a + 1) \ pi} {n} \ tan ^ {- 1} \ dfrac {x- \ cos \ dfrac {(2r + 1) \ pi} {n}} {\ sin (\ dfrac {(2r + 1) r \ pi} {n})} [/ math]

Ahora r puede tomar valores de [matemática] 0 [/ matemática] a [matemática] m-1 [/ matemática] es decir [matemática] \ dfrac {n-3} 2 [/ matemática]

Entonces, la solución completa para el valor impar de [math] n [/ math] es

[matemáticas] \ boxed {\ displaystyle \ dfrac {(-1) ^ {a}} {n} \ ln | x + 1 | – \ sum_ {r = 0} ^ {\ dfrac {n-3} 2} \ cos \ dfrac {(2r + 1) (a + 1) \ pi} {n} \ ln | x ^ 2-2x \ cos \ dfrac {(2r + 1) \ pi} {n} +1 | +2 \ sin \ dfrac {(2r + 1) (a + 1) \ pi} {n} \ tan ^ {- 1} \ dfrac {x- \ cos \ dfrac {(2r + 1) \ pi} {n}} { \ sin \ dfrac {(2r + 1) \ pi} {n}} + C} [/ math]

Caso 2 :: n es par. En este caso solo hay raíces complejas. la solución se puede poner como

[matemáticas] \ boxed {\ displaystyle – \ sum_ {r = 0} ^ {\ dfrac {n-2} 2} \ cos \ dfrac {(2r + 1) (a + 1) \ pi} {n} \ ln | x ^ 2-2x \ cos \ dfrac {(2r + 1) \ pi} {n} +1 | +2 \ sin \ dfrac {(2r + 1) (a + 1) \ pi} {n} \ tan ^ {- 1} \ dfrac {x- \ cos \ dfrac {(2r + 1) \ pi} {n}} {\ sin \ dfrac {(2r + 1) \ pi} {n}} + C} [/ matemáticas]

Los dos pueden fusionarse en uno por

[matemáticas] \ boxed {\ boxed {\ displaystyle \ dfrac {\ left \ {1 – (- 1) ^ n \ right \} (-1) ^ {a}} {2n} \ ln | x + 1 | – \ sum_ {r = 0} ^ {\ left \ lfloor {\ dfrac {n-2} 2} \ right \ rfloor} \ cos \ dfrac {(2r + 1) (a + 1) \ pi} {n} \ ln | x ^ 2-2x \ cos \ dfrac {(2r + 1) \ pi} {n} +1 | +2 \ sin \ dfrac {(2r + 1) (a + 1) \ pi} {n} \ tan ^ {- 1} \ dfrac {x- \ cos \ dfrac {(2r + 1) \ pi} {n}} {\ sin \ dfrac {(2r + 1) \ pi} {n}} + C}} [/matemáticas]

Terminado por fin!

Answer 3

No hago posibles problemas con la tarea, consulto (lee y problemas de trabajo en) tu libro de texto y le pido ayuda a tu maestro / profesor para resolver esos problemas.

No doy respuestas a preguntas que puedas resolver por ti mismo con un poco de estudio, descúbrelas por ti mismo en lugar de preguntar por Quora.