¿Qué porcentaje de los primeros 500 números naturales se puede escribir como la diferencia de dos cuadrados perfectos?

Answer 1

¿Qué porcentaje de los primeros 500 números naturales se puede escribir como la diferencia de dos cuadrados perfectos?

Primero, permítanme decir que puede haber debate sobre si [math] 0 [/ math] puede considerarse un cuadrado perfecto. Si lo permite, [matemática] 1 = 1 ^ 2–0 ^ 2 [/ matemática] y [matemática] 4 = 2 ^ 2–0 ^ 2. [/ Matemática] Si no, deberá ajustar el porcentaje a la baja para excluir estos dos números. Creo que es razonable incluir 0 como un cuadrado. La única razón por la que puedo pensar para excluirlo es que [math] 0 [/ math] no se considera un residuo cuadrático [math] \ pmod p, [/ math] donde [math] p [/ math] es primo. Ahora a la carne de la pregunta …

Todos los cuadrados son equivalentes a [matemática] 0 [/ matemática] o [matemática] 1 \ pmod4. [/ Matemática] Entonces, la diferencia de dos cuadrados puede ser equivalente a [matemática] -1, [/ matemática] [matemática] 0, [/ math] o [math] 1 \ pmod4. [/ math] Entonces, los números equivalentes a [math] 2 \ pmod4 [/ math] no pueden expresarse como la diferencia de dos cuadrados.

Veamos si cualquier otro número, es decir, cada número impar y cada múltiplo de cuatro, se puede expresar como la diferencia de dos cuadrados …

Si [matemática] x [/ matemática] es la diferencia de [matemática] a ^ 2 [/ matemática] y [matemática] b ^ 2, [/ matemática] entonces [matemática] x = (a + b) (ab). [/ math] Entonces, si [math] x [/ math] es impar, entonces [math] a = \ frac {x + 1} {2} [/ math] y [math] b = \ frac {x-1} {2} [/ math] es una solución. Si [matemática] x [/ matemática] es un múltiplo de [matemática] 4, [/ matemática] entonces [matemática] a = \ frac {x} {4} +1 [/ matemática] y [matemática] b = \ frac {x} {4} -1 [/ math] es una solución.

Entonces exactamente [matemáticas] 75 \% [/ matemáticas] de los primeros números naturales [matemáticas] 500 [/ matemáticas] se pueden escribir como la diferencia de dos cuadrados. (O podría decir que [matemáticas] 74.6 \% [/ matemáticas] de ellas se pueden escribir como la diferencia de dos cuadrados distintos de cero).

Answer 2

Aquí está la estrategia que usaría si quisiera responder una pregunta similar:

¿Qué proporción de los primeros cien números contables se puede escribir como la diferencia entre dos cuadrados perfectos?

• Haga una lista de los cuadrados perfectos, continuando hasta que la diferencia entre el último cuadrado perfecto y el siguiente sea mayor que 100
• 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225 … etc.
• Calcule cada diferencia entre dos números y marque cada diferencia que obtenga al menos una vez.
• Mire la lista de números que son posibles y busque patrones.

Esto es lo que hice para mi problema similar: he incluido el programa que solía hacer el trabajo.

• Primeras seis líneas en el lado izquierdo:

• Cada cuadrado perfecto del 1 al 2601. Podría haberme detenido en 2500 porque 2601–2500 = 101, mayor que nuestro límite.

El resto de los datos en el lado izquierdo:

• Cada diferencia entre dos cuadrados perfectos que resulta en una diferencia entre 3 y 100
• Alterné los colores para que sea fácil ver cuándo hay más de una forma de hacer un número. Por ejemplo, hay cuatro diferencias que son iguales a 96.

Las dos columnas del lado derecho.

• Cada número entero que es igual a la diferencia entre dos cuadrados.

Tu próxima tarea:

• Mire la lista de números enteros y busque patrones:

• Cada número impar que comienza con 3
  → 2n + 1 para n> 0
  → Eso es casi el 50% de los números
• ¿Ves otros patrones?

  → Veo otro patrón que comienza con un número par

  → No sé si hay algún otro patrón que dé como resultado siete números seguidos que sean diferencias entre dos cuadrados.

No voy a darle la respuesta final porque debería poder usar mi método manual para determinar el porcentaje para cualquier rango de diferencias.

Answer 3

Todos Los números impares necesariamente se pueden escribir como la diferencia de dos cuadrados. Por ejemplo 1 = (1) ^ 2 – (0) ^ 2, 9 = (5) ^ 2 – (4) ^ 2 etc.

Además de los números impares, todos los números que comienzan con 4 con un espacio de 4 podrían expresarse como la diferencia de 2 cuadrados. Por ejemplo 4 = (2) ^ 2 – (0) ^ 2, 40 = (11) ^ 2 – (9) ^ 2 etc.

Por lo tanto, tenemos 250 números impares (en los primeros 500 números naturales) + 125 números (múltiplos de 4) (en los primeros 500 números naturales) que podrían expresarse como diferencia de cuadrados.

250 + 125 = 375.

(375/500) * 100 = 75%.

Entonces, el 75% de los Números podrían expresarse como la diferencia de dos cuadrados.

Answer 4

La diferencia entre dos cuadrados siempre es impar o divisible por 4 :

Es impar, cuando a y b tienen una distancia impar (esto se deduce del hecho de que un cuadrado de un número par siempre es par y el de un número impar siempre es impar).

Si la distancia entre a y b es par, entonces

(x + 2k) ² – x² = x² + 4kx + 4k² – x² = 4 (kx-k²).

Podemos mostrar fácilmente lo contrario: todos los números que son impares o divisibles por 4 se pueden escribir como una diferencia entre dos cuadrados. Recuerde que a²-b² = (ab) (a + b). Llamemos a nuestra diferencia n.

n es impar :

Ponga ab = 1 y a + b = n.

Resolviendo este sistema obtenemos b = (n-1) / 2 y a = b + 1 . Tenga en cuenta que en el caso patológico n = 1 da a = 1 yb = 0.

n es divisible por 4 :

Ponga ab = 2 y a + b = n / 2.

Resolver este sistema dado b = n / 4–1 y a = b + 2 .

Entonces, establecimos que todos los números que son impares o divisibles por 4 satisfacen la condición. Supongo que no cuenta 0 como natural, pero lo cuenta como un cuadrado perfecto; si no, reste 2 del número de soluciones como para n = 1 nuestra solución es 1 = 1–0 y para n = 4 es 4 = 4-0.

Entre los números del 1 al 500 tenemos 250 números impares y 125 números divisibles por 4, por lo que la fracción es 375/500, 75% . Si no cuenta 0 como un cuadrado perfecto, es 373/500 = 74.6%.

Answer 5

50% de los primeros 500 números = 250, que es el número de números impares en ese conjunto de los primeros 500 números naturales. Dado que {1,2,3, … .500} es EL conjunto.

La diferencia entre el cuadrado de cualquier número natural y el cuadrado de su predecesor es siempre un número ODD, como lo demuestra lo siguiente:

(x + 1) ^ 2 – x ^ 2 = [x ^ 2 + 2x +1] – x ^ 2 = 2x + 1
y 2x + 1 es impar para todos los números de conteo x

Echale un vistazo:
1 ^ 2 – 0 ^ 2 = 1 – 0 = 1
2 ^ 2 – 1 ^ 2 = 4 -1 = 3
3 ^ 2 – 2 ^ 2 = 9 – 4 = 5
4 ^ 2 – 3 ^ 2 = 16 – 9 = 7
etcétera etcétera

Answer 6

Todos los números, excepto los congruentes con 2 mod 4, son representables como la diferencia de dos cuadrados perfectos. Estos son solo el doble de los números impares, entonces {2, 6, 10, 14, …}. Hay 125 de estos entre 1 y 500, por lo que el 75% de los números naturales menores de 500 se pueden escribir de esta manera.

Answer 7

Todos los números impares se pueden escribir como una diferencia de dos cuadrados perfectos. Los números pares que son divisibles por 4 se pueden escribir como una diferencia de dos cuadrados perfectos. Hay 375 números de los primeros 500 números naturales que se pueden escribir como una diferencia de dos cuadrados perfectos, es decir, 75%