Si [matemáticas] \ frac {a} {a ^ 2 + 1} = \ frac {1} {3} [/ matemáticas], determine [matemáticas] \ frac {a ^ 3} {a ^ 6 + a ^ 5 + a ^ 4 + a ^ 3 + a ^ 2 + a + 1} [/ matemáticas]

Answer 1

Las soluciones para a son:
[matemáticas] a = \ dfrac {3} {2} – \ dfrac {\ sqrt5} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] a = \ dfrac {3} {2} + \ dfrac {\ sqrt5} {2} [/ matemáticas]

Así es como se hace:
Resolvamos ‘a’ sobre los números reales:

Dado: [matemáticas] \ frac {a} {a ^ 2 + 1} = \ frac {1} {3} [/ matemáticas]

Al reorganizar la multiplicación cruzada obtenemos:

[matemáticas] – a ^ 2 + 3 a – 1 = 0 [/ matemáticas]

Multiplicar ambos lados por [matemáticas] -1 [/ matemáticas]:

[matemáticas] a ^ 2 – 3 a + 1 = 0 [/ matemáticas]

Restando 1 de ambos lados:

[matemáticas] a ^ 2 – 3 a = -1 [/ matemáticas]

Agregando [math] \ dfrac {9} {4} [/ math] a ambos lados:

[matemáticas] a ^ 2 – 3 a + \ dfrac {9} {4} = \ dfrac {5} {4} [/ matemáticas]

Escribir el lado izquierdo como un cuadrado perfecto:

[matemáticas] (a – \ dfrac {3} {2}) ^ 2 = \ dfrac {5} {4} [/ matemáticas]

Tomando raíz cuadrada de ambos lados:

[matemáticas] a – \ dfrac {3} {2} = \ dfrac {\ sqrt5} {2} [/ matemáticas] o [matemáticas] a – \ dfrac {3} {2} = – \ dfrac {\ sqrt5} { 2} [/ matemáticas]

Agregando [math] \ dfrac {3} {2} [/ math] a ambos lados:

[matemáticas] a = \ dfrac {3} {2} + \ dfrac {\ sqrt5} {2} [/ matemáticas] o [matemáticas] a – \ dfrac {3} {2} = – \ dfrac {\ sqrt5} { 2} [/ matemáticas]

Agregando [math] \ dfrac {3} {2} [/ math] a ambos lados:

Las soluciones son: [matemáticas] \ boxed {a_1 = \ dfrac {3} {2} + \ dfrac {\ sqrt5} {2} \ text {or} a_2 = \ dfrac {3} {2} – \ dfrac {\ sqrt5 } {2}} [/ matemáticas]

Ahora necesitamos encontrar: [matemáticas] A = \ frac {a ^ 3} {a ^ 6 + a ^ 5 + a ^ 4 + a ^ 3 + a ^ 2 + a + 1} =? [/ Matemáticas]

Por lo tanto,

[matemáticas] A_1 = \ dfrac {(\ dfrac {3} {2} + \ dfrac {\ sqrt5} {2}) ^ 3} {(\ dfrac {3} {2} + \ dfrac {\ sqrt5} {2 }) ^ 6 + (\ dfrac {3} {2} + \ dfrac {\ sqrt5} {2}) ^ 5 + (\ dfrac {3} {2} + \ dfrac {\ sqrt5} {2}) ^ 4 + (\ dfrac {3} {2} + \ dfrac {\ sqrt5} {2}) ^ 3 + (\ dfrac {3} {2} + \ dfrac {\ sqrt5} {2}) ^ 2 + (\ dfrac {3} {2} + \ dfrac {\ sqrt5} {2}) + 1} [/ matemáticas]

=

=

=

= [matemáticas] \ dfrac {1} {29} [/ matemáticas]

Y de manera similar

A_2 =

=

= [matemáticas] \ dfrac {1} {29} [/ matemáticas]

Answer 2

De la ecuación dada,

(i) (a² + 1) / a = 3

a + (1 / a) = 3

(ii) {a + (1 / a)} ² = 9

(iii) a² + (1 / a²) = 9–2 = 7

(iv) {a + (1 / a)} ³ = 27 = a³ + (1 / a³) +3 {a + (1 / a)}

(v) a³ + (1 / a³) = 27–3 × 3 = 18

(vi) expressionexpresión dada

= 1 / (a³ + a² + a + 1 + 1 / a + 1 / a² + 1 / a³)

= 1 / (3 + 7 + 18 + 1)

= 1/29

Answer 3

De [matemáticas] \ frac {a ^ 2 + 1} {a} = a + \ frac {1} {a} = 3 [/ matemáticas] obtenemos [matemáticas] \ frac {a ^ 6 + a ^ 5 + a ^ 4 + a ^ 3 + a ^ 2 + a + 1} {a ^ 3} = (a + \ frac {1} {a}) ^ 3 + (a + \ frac {1} {a}) ^ 2 -2 (a + \ frac {1} {a}) – 1 = 27 + 9 – 6 – 1 = 29 [/ matemáticas]. Invertir esta fracción da el resultado [matemática] \ frac {1} {29} [/ matemática].

Answer 4

a / (a ​​^ 2 + 1) = 1/3 o (a ^ 2 + 1) / a = 3

a + 1 / a = 3, cuadrando ambos lados

a / 2 + 1 / a ^ 2 + 2 = 9

a ^ 2 + 1 / a ^ 2 = 7 …………. (1)

a ^ 3 + 1 / a ^ 3 = (a + 1 / a) (a ^ 2 + 1 / a ^ 2–1) = 3. (7–1) = 18 …… (2)

= a ^ 3 / (a ​​^ 6 + a ^ 5 + a ^ 4 + a ^ 3 + a ^ 2 + a + 1)

Divide arriba y abajo entre a ^ 3

= 1 / (a ​​^ 3 + a ^ 2 + a + 1 + 1 / a + 1 / a ^ 2 + 1 / a ^ 3)

= 1 / [(a ^ 3 + 1 / a ^ 3) + (a ^ 2 + 1 / a ^ 2) + (a + 1 / a) +1]

= 1 / [18 + 7 + 3 + 1]

= 1/29, respuesta.

Answer 5

Simplificando la ecuación dada, [matemáticas] a ^ 2 = 3a-1 [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 3 = a (a ^ 2) = a (3a-1) = 3a ^ 2-a = 3 (3a-1) – a = 8a – 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 4 = a (a ^ 3) = a (8a – 3) = 8a ^ 2-3a = 8 (3a-1) -3a = 21a – 8 [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 5 = a (a ^ 4) = a (21a-8) = 21a ^ 2–8a = 21 (3a-1) -8a = 55a – 21 [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 6 = a (a ^ 5) = a (55a-21) = 55a ^ 2 – 21a = 55 (3a-1) – 21a = 144a – 55 [/ matemáticas]

Denominador = [matemáticas] a ^ 6 + a ^ 5 + a ^ 4 + a ^ 3 + a ^ 2 + a + 1 = 144a-55 + 55a-21 + 21a-8 + 8a-3 + 3a-1 + a +1 = 232a-87 = 29 (8a-3) [/ matemáticas]

Numerador = [matemática] a ^ 3 = 8a-3 [/ matemática]

Expresión = Numerador / Denominador = [matemáticas] (8a – 3) / [29 (8a-3)] = 1/29 [/ matemáticas]

Answer 6

Dado a / (a ​​^ 2 + 1) = 1/3 es decir a + 1 / a = 3, a ^ 2 + 1 / a ^ 2 = 7, a ^ 3 + 1 / a ^ 3 = 18.

a ^ 3 / (a ​​^ 6 + a ^ 5 + a ^ 4 + a ^ 3 + a ^ 2 + a + 1) = 1 / (a ​​^ 3 + a ^ 2 + a + 1 + 1 / a + 1 / a ^ 2 + 1 / a ^ 3)

= 1 / ((a ^ 3 + 1 / a ^ 3) + (a ^ 2 + 1 / a ^ 2) + (a + 1 / a) +1) = 1 / (18 + 7 + 3 + 1) = 1/29.

Espero que esto funcione……

Answer 7

Esta es la solución directa:

(a / a ^ 2 + 1) = (1/3)

a ^ 2 + 1 = 3a

a ^ 2–3a + 1 = 0

resuélvelo usando la fórmula de quad. raíces de ecuación:

a = 1.5 + -sqrt (1.25) tendrás dos soluciones

sustituir en la otra expresión para obtener su valor. Deberías tener dos posibles soluciones.

Answer 8

Divida la pregunta en dos partes:

1. Evalúe [math] a [/ math] (reorganice la ecuación y use la fórmula cuadrática)
2. Enchufe el valor de [math] a [/ math] (use una calculadora)

Respuesta final: [matemáticas] \ displaystyle \ frac 1 {29} [/ matemáticas]

¡Hecho! ✔