Estoy estudiando álgebra conmutativa como preparación para la geometría algebraica. ¿Qué piensan los teóricos de los anillos no conmutativos sobre el álgebra conmutativa?

Answer 1

¡El álgebra conmutativa es un continente al que siempre he querido ir!

Hay tantas herramientas y conceptos con los que no soy fluido en álgebra conmutativa. Lo sorprendente es el tamaño y la profundidad del sujeto que no tiene o tiene muy pocos análogos en anillos no conmutativos. Puedo ver cómo los algebraistas conmutativos pueden alejarse de los anillos no conmutativos, ya que muchas de las herramientas no se aplican, y puedes obtener tantos buenos resultados con los anillos conmutativos.

Lo único que extrañaría, si me viera obligado a trabajar con anillos conmutativos por el resto de mi vida, serían las patologías interesantes que puede obtener con los anillos no conmutativos. Hay mucha más variedad con anillos no conmutativos. Esa fue parte de mi motivación para comenzar a trabajar en la Base de datos de la teoría de los anillos.

Pero algún día, cuando el tiempo lo permita, definitivamente me sentaré y me sumergiré en algo como el álgebra conmutativa de Eisenbud: con una vista hacia la geometría algebraica o la geometría algebraica de Hartshorne, y trataré de entender toda la jerga homológica y geométrica que usan algebraistas conmutativos y geómetras algebraicos.

Answer 2

Siempre es difícil especular sobre los sentimientos de los demás. Como no soy un teórico del anillo no conmutativo, mi única fuente de información aquí sería mi profesor de álgebra conmutativa en la escuela de posgrado, quien creo que hizo su investigación en álgebra no conmutativa. Creo recordar que su opinión fue que las preguntas interesantes en la teoría del anillo conmutativo se resolvieron en el siglo XIX y principios del XX. No tengo una perspectiva personal, pero parece plausible porque los anillos conmutativos están tan estrechamente relacionados con la geometría algebraica, por lo tanto, hay más herramientas a su disposición. También recuerdo que hay algunos teoremas poderosos de anillos conmutativos que no se trasladan a la configuración no conmutativa. Sin embargo, no recuerdo mucho de ellos.

En un sentido cualitativo, la conmutatividad se siente muy restrictiva a medida que avanzan las propiedades. No tengo una forma de cuantificarlo para los anillos, pero por analogía, considere grupos finitamente generados. El teorema de la estructura para grupos abelianos finitamente generados te dice que todos son un poco aburridos: productos directos de grupos cíclicos. Los grupos finitos generados en su conjunto son mucho más variados que eso. Tengo que imaginar que se podría hacer una declaración similar sobre los anillos conmutativos / no conmutativos.

Puede ser un poco como el álgebra lineal: casi nadie diría hoy que su campo de investigación es el álgebra lineal. Por supuesto, el álgebra lineal está en todas partes en el trabajo de muchas personas, pero ya no creo que las preguntas fundamentales sobre el álgebra lineal sean preguntas de investigación. Claro, hay problemas abiertos aquí y allá, pero los investigadores pasan más tiempo en el terreno arado más recientemente, porque ya se sabe menos sobre los objetos de estudio allí.

Answer 3

¿Que no es su bolsa de té? Las matemáticas son un campo enorme. Nadie puede dominarlo todo. Encuentra lo que eres bueno o lo que crees que vale tus esfuerzos en el feliz evento de que eres bueno en todo lo que te propones, y corres con eso. Y buena suerte a los demás que trabajan cada uno en su propio sector. Todo el tiempo teniendo en cuenta que los límites del campo son porosos y el hecho o la percepción que necesita puede estar allí, ya conocido por los expertos de alguna otra especialidad. Por lo tanto, pregunta y controla el pulso de otros sectores relacionados.