Cómo encontrar el mínimo / máximo de 2x sobre x ^ 2 + 4

Answer 1

Deje [math] f \ left (x \ right) = \ frac {2x} {x ^ 2 + 4}; [/matemáticas]

Y supondré que estás hablando de la existencia de extremos absolutos en toda la recta numérica real [matemática] \ izquierda (-∞, + ∞ \ derecha). [/ Matemática]

Primero veamos si existe o no;

[matemáticas] \ lim_ {x \ rightarrow -∞} f \ left (x \ right) = -∞; [/ math]

[matemáticas] \ lim_ {x \ rightarrow + ∞} f \ left (x \ right) = + ∞; [/ math]

Entonces, tanto los máximos como los mínimos absolutos existen en [math] \ left (-∞, + ∞ \ right). [/ Math]

Ahora descubramos la primera derivada de [matemáticas] f \ left (x \ right). [/ math] Que es:

[matemáticas] f ‘\ left (x \ right) = \ frac {d} {dx} \ left [\ frac {2x} {x ^ 2 + 4} \ right] [/ math]

[matemáticas] \\ = \ frac {-2x ^ 2 + 8} {\ left (x ^ 2 + 4 \ right) ^ 2} = \ frac {-2 \ left (x ^ 2-4 \ right)} { \ left (x ^ 2 + 4 \ right) ^ 2} [/ math]

[matemáticas] \\ = \ frac {-2 \ left (x-2 \ right) \ left (x + 2 \ right)} {\ left (x ^ 2 + 4 \ right) ^ 2} [/ math]

Sabemos que [math] f (x) [/ math] tiene extremos absolutos solo en los extremos relativos, y los extremos relativos solo ocurren en los puntos críticos. Y [matemáticas] f (x) [/ matemáticas] tiene puntos críticos en

[matemáticas] x = 2 [/ matemáticas] Y [matemáticas] x = -2. [/ matemáticas]

Vamos a revisar,

[matemáticas] f (2) = \ frac {1} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] f (-2) = – \ frac {1} {2} [/ matemáticas]

Entonces,

Máx = [matemáticas] \ frac {1} {2} [/ matemáticas] en [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas]

Min = – [matemática] \ frac {1} {2} [/ matemática] en [matemática] x = -2 [/ matemática]

Answer 2

Solo obsérvalo.

[matemáticas] x ^ 2 + 4 [/ matemáticas]

Es una parábola ascendente y la parte [matemática] x ^ 2 [/ matemática] nunca se vuelve negativa.

Entonces, en el caso mínimo, [matemática] x ^ 2 = 0 en x = 0 [/ matemática] y en los casos restantes, agrega algo a nuestro 4.

Por lo tanto, el valor mínimo es 4 en x = 0.

No apliques demasiadas matemáticas. Si planeas resolver usando la diferenciación, etc., entonces es como tratar de usar un misil nuclear para matar a un mosquito.