¿Por qué cos (120) = -1/2? Estoy principalmente confundido acerca de por qué se volvió negativo?

Answer 1

Como ya sabrá, los valores de la función trigonométrica de los ángulos agudos se definen en triángulos rectángulos. Digamos, dado [matemáticas] \ triángulo ABC [/ matemáticas] donde [matemáticas] C = 90 ^ \ circ [/ matemáticas], definimos

[matemáticas] \ sin A = \ cos B = \ dfrac {| BC |} {| AB |} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ cos A = \ sin B = \ dfrac {| AC |} {| AB |} [/ matemáticas]

Ahora queremos extender la definición a todos los números reales. Dibujamos un círculo unitario (con radio [matemática] 1 [/ matemática]) en un plano [matemático] xOy [/ matemático] estándar, y seleccionamos un punto [matemático] P (x_P, y_P) [/ matemático] en el círculo en el primer cuadrante, luego [matemáticas] | PO | = 1 [/ matemáticas]. Digamos que el punto [math] Q [/ math] está en el eje [math] x [/ math] haciendo [math] PQ \ perp Ox [/ math]. Entonces, de acuerdo con la definición anterior, tenemos

[matemáticas] \ sen \ angle xOP = y_P [/ matemáticas]

[matemáticas] \ cos \ angle xOP = x_P [/ matemáticas]

Ahora tenemos muchas opciones para definir los valores de la función trigonométrica de [math] \ sin \ angle xOP [/ math] cuando [math] P [/ math] se mueve a otros cuadrantes, pero la forma más fácil es mantener las expresiones anteriores. Entonces, cuando [math] \ angle xOP = 120 ^ \ circ [/ math], descubrirá

[matemáticas] \ sin 120 ^ \ circ = \ sin 60 ^ \ circ = \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ cos 120 ^ \ circ = – \ cos 60 ^ \ circ = – \ dfrac {1} {2} [/ matemáticas]

Suceden cosas similares cuando mueve [matemática] P [/ matemática] a los cuadrantes tercero o cuarto y los ejes.

Answer 2

Para comprender por qué las funciones trigonométricas a veces son positivas y a veces negativas, debe dejar de usar el viejo SOH CAH TOA mnemónico porque solo se aplica a triángulos rectángulos.

En el diagrama anterior, la hipotenusa es 1 unidad.

Las nuevas definiciones en lugar de SOH CAH TOA son:

sin (θ) es la coordenada y de P (que es la coordenada ROJA)

cos (θ) es la coordenada x de P (que es la coordenada AZUL)

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Ahora dejemos θ = 60 grados.

Vemos que sin60 = 0.866 y cos60 = 0.5

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Ahora deje θ = 120 grados

sin (120) es la coordenada ROJA que equivale a +0.866 (que es positivo)

cos (120) es la coordenada AZUL que es igual a 0.5 (que es negativa)

Este tipo de cosas se explica mejor EN PERSONA, pero como la mejor opción

Le recomiendo que eche un vistazo a este breve video de 4 minutos que hice: http://screencast.com/t/iQeIn5VFtr2

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Me han animado a agregar ejemplos para el tercer y cuarto cuadrantes.

Mantendré el ángulo básico de 60 grados.

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Este ángulo es de 240 grados

sin (240) es la coordenada ROJA que equivale a 0.866

cos (240) es la coordenada AZUL que equivale a 0.5

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Este ángulo es de 300 grados.

sin (300) es la coordenada ROJA que equivale a 0.866

cos (300) es la coordenada AZUL que equivale a + 0.5

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Answer 3

Expanda cos 120 como cos (90 + 30), que es = cos 90 sin 30 -sin 90 cos 30

= 0 * 0.5 -1 * 0.5

= 0 – 0.5

= -0.5

Por lo tanto cos 120 = -0.5. Demostrado.

Answer 4

120 termina en Q2 en el que el coseno (que según la teoría matemática) representa la coordenada xy la coordenada x en Q2 es negativo.