¿Existe una fórmula para encontrar todos los ceros reales de un polinomio que tenga más de 3 términos además de usar la división sintética?

Answer 1

No confíe en FORMULAS para hacer todo por usted. Aprenda MÉTODOS lógicos para responder problemas.

Supongamos que f (x) = (x – 1) (x – 2) (x – 4)

entonces los únicos valores de x que hacen f (x) = 0 son cuando x = 1 o 2 o 4.

Otra forma de pensar en esto es que si f (1) = 0, entonces (x – 1) debe ser un factor.

Esto es básicamente lo que queremos decir con el TEOREMA DEL FACTOR.

Aquí está el proceso explicado:

Supongamos que f (x) es la siguiente función cúbica:

Básicamente, solo INTENTAMOS varios números de la siguiente manera:

Intentamos x = 1 y obtenemos f (1) = 1 – 7 + 14 – 8 = 0, entonces (x – 1) es un factor .

Intentamos x = 2 y obtenemos f (2) = 8 – 28 + 28 – 8 = 0, entonces (x – 2) es un factor .

TRATAMOS x = 3 y obtenemos f (3) = 27 – 63 + 42 – 8 ≠ 0, entonces (x – 3) NO es un factor .

Intentamos x = 4 y obtenemos f (2) = 64 – 112 + 56 – 8 = 0, entonces (x – 4) es un factor .

Sabemos que no hay más de 3 factores, entonces:

f (x) = DEBE SER IGUAL A (x – 1) (x – 2) (x – 4)

Este teorema de FACTOR, escrito de manera clara y general, solo dice que:

Si f (a) = 0, entonces (x –a) debe ser un factor de f (x)

Answer 2

Para polinomios de tercer grado, sí, aunque no es tan elegante como la fórmula cuadrática. No es el tipo de cosa que querrías comprometer con la memoria a menos que la uses mucho .

Para polinomios de cuarto grado, también sí, pero es aún menos agradable que el de los cúbicos.

Aquí es donde se pone interesante. Para polinomios de quinto grado y superiores, no hay fórmula. No digo que nadie los haya encontrado. Estoy diciendo que literalmente no existen. Esto se explica en el teorema de Abel-Ruffini, que utiliza ideas de una rama matemática relativamente moderna (menos de 200 años) llamada teoría de Galois.