Definir [matemáticas] f (x) = 5x ^ 4-48x ^ 3 + 177x ^ 2-188x + 156 [/ matemáticas]
Esta es una función cuártica y, por lo tanto, tendrá cuatro raíces (y en este caso particular, las raíces son todas únicas).
Si bien existe un método algebraico para determinar las raíces de todos los cuartos, es (como era de esperar) mucho más complejo que el método para resolver ecuaciones cuadráticas. En cambio, usaré un proceso iterativo, el Método Newton-Raphson.
Como lo indican otros, las raíces de esta función son todas “complejas”, lo que significa que contienen una parte real y una parte imaginaria (los números reales son el subconjunto de números complejos que no tienen parte imaginaria). La naturaleza de las raíces (reales o “complejas”) e incluso si una se repite puede determinarse usando un bosquejo de f (x) trazado contra x; solo necesita determinar dónde ocurren los mínimos / máximos locales y los puntos de inflexión. Sin embargo, esta respuesta será lo suficientemente larga sin bajar ese callejón en particular.
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El método de Newton-Raphson
Primero, necesitamos determinar [math] {f} ‘(x) [/ math], la primera derivada de f (x) con respecto a x. Esto es claramente:
[matemáticas] 20x ^ 3-144x ^ 2 + 354x-188 [/ matemáticas]
yo. Comience con una estimación inicial (adivinar), [matemáticas] x_ {0} [/ matemáticas]
ii) Calcular [matemática] f (x_ {0}) [/ matemática]
iii) Calcular [matemáticas] {f} ‘(x_ {0}) [/ matemáticas]
iv. Calcule una estimación revisada: [matemáticas] x_ {1} = x_ {0} – \ frac {f (x_ {0})} {{f} ‘(x_ {0})} [/ matemáticas]
v. Calcular [matemáticas] f (x_ {1}) [/ matemáticas]
vi. Calcular [matemáticas] {f} ‘(x_ {1}) [/ matemáticas]
vii. Calcule una estimación revisada: [matemáticas] x_ {2} = x_ {1} – \ frac {f (x_ {1})} {{f} ‘(x_ {1})} [/ matemáticas]
y así
Con suerte, las estimaciones convergerán en una respuesta. [A veces, debido a la forma real de la curva y a la suposición inicial, tendrás mala suerte, en cuyo caso comenzar de nuevo con una suposición inicial diferente.]
Puede que todavía le preocupe que tengamos que descubrir cuatro raíces, todas con una parte real y una parte imaginaria, pero no se preocupe, no es tan malo como cree.
Trucos
Considere la ecuación cuadrática [matemática] Ax ^ 2 + Bx + C = 0 [/ matemática]
Deje B = PA y C = QA; dividiendo todo por A, tenemos así:
[matemáticas] x ^ 2 + Px + Q = 0 [/ matemáticas]
Suponga que esta ecuación tiene dos “raíces complejas”, [matemáticas] a \ pm bi [/ matemáticas] y [matemáticas] c [/ matemáticas] [matemáticas] \ pm di [/ matemáticas]
En otras palabras,
[matemáticas] x ^ 2 + Px + Q = (xa-bi) (xc-di) = x ^ 2 + (a + c-bi-di) x + (ac-bd + bci + adi) [/ math]
Ahora, si P es un número real, entonces (a + c – bi – di) debe ser real, entonces (i) b + d = 0
Si Q es un número real, entonces (ac – bd + bci + adi) debe ser real, entonces (ii) bc + ad = 0
Si P y Q son reales, podemos reescribir (ii) como bc – ab = 0, entonces c – a = 0 (es decir, c = a) o b = 0 (en cuyo caso las raíces no son complejas).
El principio general es que para cualquier polinomio cuyos coeficientes sean todos números reales, entonces, si existe una raíz compleja a + bi, su conjugado complejo a – bi también es una raíz.
Ahora hemos reducido a la mitad nuestro problema. ¿Podemos hacerlo mejor?
Bueno, estamos tratando de resolver una ecuación que tiene cuatro raíces “complejas”, que forman dos pares conjugados complejos, [matemática] a \ pm bi [/ matemática] y [matemática] p \ pm qi [/ matemática].
En otras palabras, [matemáticas] f (x) = 5 (xa-bi) (x-a + bi) (xc-di) (x-c + di) = 5 (x ^ 2-2ax + a ^ 2 + b ^ 2) (x ^ 2-2px + p ^ 2 + q ^ 2) [/ matemáticas]
¿Cuál es el coeficiente de [matemáticas] x ^ 3 [/ matemáticas]? De la definición original de f (x), es -48; pero desde arriba, tenemos -10 (a + p). Así a + p = 4.8.
Por lo tanto, al encontrar una raíz, no solo tenemos su conjugado complejo sino que también podemos calcular fácilmente la parte real del otro par complejo.
Al considerar el coeficiente de [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas], podríamos determinar [matemáticas] q ^ 2 [/ matemáticas], lo que llevaría a las partes imaginarias del segundo par de raíces. Pero, una vez que haya configurado una hoja de cálculo para encontrar una raíz usando el Método Newton-Raphson, es más fácil continuar usándola en lugar de saltar a otro método.
Formulación
Usando nuestra suposición inicial de x = a + bi (he ignorado los subíndices, ya que la formulación se vería horrible)
[matemáticas] f (x) = 5 (a + bi) ^ 4-48 (a + bi) ^ 3 + 177 (a + bi) ^ 2-188 (a + bi) +156 [/ matemáticas]
[matemáticas] = 5 (a ^ 4 + 4a ^ 3bi-6a ^ 2b ^ 2-4ab ^ 3i + b ^ 4) -48 (a ^ 3 + 3a ^ 2bi-3ab ^ 2-b ^ 3i) +177 ( a ^ 2 + 2abi-b ^ 2) -188 (a + bi) +156 [/ matemáticas]
[matemáticas] = (5a ^ 4-30a ^ 2b ^ 2 + 5b ^ 4-48a ^ 3 + 144ab ^ 2 = 177a ^ 2-177b ^ 2-188a + 156) + (20a ^ 3b-20ab ^ 3-144a ^ 2b + 48b ^ 3 + 354ab-188b) i [/ matemáticas]
Por simplicidad, llamaremos a esto A + Bi
[matemáticas] {f} ‘(x) = 20 (a + bi) ^ 3-144 (a + bi) ^ 2 + 354 (a + bi) -188 [/ matemáticas]
[matemáticas] = 20 (a ^ 3 + 3a ^ 2bi-3ab ^ 2-b ^ 3i) -144 (a ^ 2 + 2abi-b ^ 2) +354 (a + bi) -188 [/ matemáticas]
[matemáticas] = (20a ^ 3-60ab ^ 2-144a ^ 2 + 144b ^ 2 + 354a-188) + (60a ^ 2b-20b ^ 3-288ab + 354b) i [/ matemáticas]
Por simplicidad, llamaremos a esto C + Di
Ahora necesitamos calcular nuestra estimación revisada:
[matemáticas] x = (a + bi) – \ frac {A + Bi} {C + Di} = (a + bi) – \ frac {(A + Bi) (C-Di)} {(C + Di) (C-Di)} [/ matemáticas]
[matemáticas] = (a + bi) -frac {(AC + BD) + (BC-AD) i} {C ^ 2 + D ^ 2} [/ matemáticas]
luego calcularemos f (x) y f ‘(x) para determinar una nueva estimación y así sucesivamente.
Solución
Para ahorrar tiempo, los resultados a continuación se han redondeado a dos decimales; Los cálculos reales se realizaron utilizando números no redondeados.
Estimación inicial ———— f (x) ———— f ‘(x) —————- Revisión revisada
1 + i ______________________ 44 + 70i ______ 126 + 106i _______ 0.52 + 0.85i
0.52 + 0.85i _____________ 23.33–10.76i _ 41.15 + 174.18i __ 0.55 + 0.99i
0.55 + 0.99i _____________ -0.81 + 2.58i ___ 74.75 + 191.72i __ 0.54 + 0.98i
0.54 + 0.98i _____________ 0.02 + 0.01i __ 71.34 + 192.68i __ 0,54 + 0.98i
No toma mucho tiempo encontrar que un par de raíces es aproximadamente 0.540032 ± 0.979287i
Como la parte real de las otras dos raíces es aproximadamente 4.36 (= 4.8 – 0.54 …), usaremos 4.36 + i como nuestra nueva estimación inicial. ¡Uy! Después de solo unas pocas iteraciones, debe quedar claro que esto no va a converger en una respuesta. Bien, intentemos 4.36 + 2i: pronto converge a 4.259968 ± 2.607674i
Entonces las respuestas son: 0.540032 ± 0.979287 i y 4.259968 ± 2.607674 i
