Cómo demostrar que [math] \ sqrt {e ^ x-1} \ leqslant e ^ x-1 [/ math] solo si [math] x \ leqslant ln (2) [/ math]

El problema es demostrar que [math] \ sqrt {e ^ x-1} \ le e ^ x – 1 [/ math] solo si [math] x \ le \ log 2. [/ Math]

Parece que hay un error en el problema como se muestra a continuación.

Considere la función [matemáticas] f (x) = (e ^ x – 1) ^ 2 – (\ sqrt {e ^ x-1}) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] = e ^ {2x} – 2e ^ x + 1 – e ^ x + 1 = e ^ {2x} -3e ^ x + 2. [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow \ qquad f (x) = (e ^ x – 1) (e ^ x – 2). [/ math]

Suponiendo que solo estamos tratando con números reales, es necesario que

[matemáticas] e ^ x-1 \ ge 0 \ qquad \ Rightarrow \ qquad x \ ge 0. [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow \ qquad [/ math] Para que [math] f (x) [/ math] sea no negativo, es necesario que [math] (e ^ x – 2) \ ge 0. [/ math ]

[matemáticas] \ Rightarrow \ qquad e ^ x \ ge 2 \ qquad \ Rightarrow \ qquad x \ ge \ log 2. [/ math]

[math] \ Rightarrow \ qquad f (x) = (e ^ x – 1) ^ 2 – (\ sqrt {e ^ x-1}) ^ 2 \ ge 0 [/ math] si y solo si [math] x \ ge \ log 2. [/ math]

[math] \ Rightarrow \ qquad (e ^ x – 1) ^ 2 \ ge (\ sqrt {e ^ x-1}) ^ 2 [/ math] si y solo si [math] x \ ge \ log 2. [ /matemáticas]

[math] \ Rightarrow \ qquad \ sqrt {e ^ x-1} \ le e ^ x – 1 [/ math] si y solo si [math] x \ ge \ log 2. [/ math]

Y [math] \ sqrt {e ^ x-1} \ ge e ^ x – 1 [/ math] si y solo si [math] 0 \ le x \ le \ log 2. [/ Math]

Primero debemos notar que, para [math] y \ geq 0 [/ math], tenemos

[matemáticas] \ sqrt {y} \ geq y \ Leftrightarrow y \ leq 1. [/ math]

En nuestro caso, primero tenemos que suponer que [math] x \ geq 0 [/ math] (de lo contrario, la raíz cuadrada conduciría a números complejos y no tenemos un orden natural allí). Entonces

[matemáticas] \ sqrt {e ^ x-1} \ geq e ^ x-1 \ Leftrightarrow e ^ x-1 \ leq 1 \ Leftrightarrow x \ leq \ log (2). [/ math]

Entonces, una de las desigualdades en la pregunta debería ser [math] “\ geq” [/ math].

debido a la raíz cuadrada:

[matemáticas] e ^ x-1 \ ge 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ x \ ge 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] x \ ge 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln 2 \ ge x \ ge 0 [/ matemáticas]

Probar [matemáticas] P_1 [/ matemáticas] es cierto:

LHS:

[matemáticas] \ sqrt {e ^ {\ ln 2} -1} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ sqrt {2-1} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ sqrt {1} [/ matemáticas]

[matemáticas] = 1 [/ matemáticas]

RHS:

[matemáticas] e ^ {\ ln 2} -1 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] P_1 [/ matemáticas] es cierto

Asumiendo que [math] P_k [/ math] es verdadero:

[matemáticas] \ sqrt {e ^ k-1} \ ge e ^ k-1 [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ k-1 \ ge (e ^ k-1) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ k-1 \ ge e ^ {2k} -2e ^ k + 1 [/ matemáticas]

Probar [math] P_ {k-1} [/ math] es verdadero siempre que [math] P_k [/ math] sea verdadero:

LHS:

[matemáticas] e ^ {k-1} -1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {e ^ k} {e} -1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {e} (e ^ ke) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {e} (e ^ k-1-e + 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ge \ displaystyle \ frac {1} {e} (e ^ {2k} -2e ^ k + 1-e + 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {e ^ {2k}} {e} -2e ^ {k-1} + \ displaystyle \ frac {2} {e} -1 [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {e ^ {2k} +2} {e} -2e ^ {k-1} + 1-2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {e ^ {2k} + 2-2e} {e} -2e ^ {k-1} +1 [/ matemáticas]

RHS:

[matemáticas] e ^ {2 (k-1)} – 2e ^ {k-1} +1 [/ matemáticas]

ENTONCES:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {e ^ {2k} + 2-2e} {e} \ ge e ^ {2 (k-1)} [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {2k} + 2-2e \ ge e ^ {2 (k-1) +1} [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {2k} + 2-2e \ ge e ^ {2k-1} [/ matemáticas]

dado que [math] e ^ {2k-1} [/ math] es menor que [math] e ^ {2k} [/ math] solo, así que esto es cierto.

Como [math] P_1 [/ math] es verdadero y [math] P_ {k-1} [/ math] es verdadero siempre que [math] P_k [/ math] es verdadero, [math] P_n [/ math] es verdadero.

En primer lugar, veamos qué desigualdad hay entre [matemática] a [/ matemática] y [matemática] \ sqrt {a} [/ matemática] para una real [matemática] a. [/ Matemática] Para que esto sea uniforme definido, tenemos que considerar [math] a \ geq 0 [/ math].

Estoy seguro de que puede probar usted mismo (en su mayoría se deduce de los axiomas básicos) que para valores no negativos de [matemáticas] a [/ matemáticas], [matemáticas] \ sqrt {a} 1 [/ math], [math] \ sqrt {a} = a [/ math] if and only if [math] a = 1 [/ math], and [math] \ sqrt {a} > a [/ math] si y solo si [math] a <1 [/ math].

Esto significa que [math] \ sqrt {a} \ geq a [/ math] si y solo si [math] a \ leq 1 [/ math]. Tomamos [matemática] a = e ^ x – 1 [/ matemática], así que ahora solo intentamos reescribir la condición [matemática] e ^ x – 1 \ leq 1 [/ matemática] en una forma diferente. Agregamos [matemática] 1 [/ matemática] a ambos lados de la desigualdad para obtener [matemática] e ^ x \ leq 2 [/ matemática].

El exponencial es una función estrictamente creciente, por lo que esta desigualdad es equivalente a [matemáticas] x \ leq \ log \ left (2 \ right) [/ math]. Así sigue:

[matemáticas] \ sqrt {e ^ x-1} \ geq e ^ x – 1 \ Leftrightarrow x \ leq \ log \ left (2 \ right). [/ math]

La pregunta tal como la veo actualmente “¿Cómo se demuestra que [matemáticas] \ sqrt {e ^ x-1} \ leqslant e ^ x-1 [/ matemáticas] solo si [matemáticas] x \ leqslant \ ln (2) [ / matemáticas]? ”no es del todo correcto, por lo que no se puede probar como es 🙂

Considere la desigualdad [math] \ sqrt {y} \ leqslant y [/ math].

Tenga en cuenta que debemos tener [math] y \ geqslant 0 [/ math], para que [math] \ sqrt {y} [/ math] sea real, porque los valores complejos no participan en un orden natural [math] \ leqslant [ /matemáticas].

[matemáticas] \ sqrt {y} \ leqslant y, y \ geqslant 0 \ implica \ sqrt {y} \ leqslant \ left \ lvert y \ right \ rvert \ implica y \ leqslant y ^ 2 \ implica y = 0 [/ math ] o [matemáticas] 1 \ leqslant y [/ matemáticas]

Entonces, si [math] \ sqrt {e ^ x – 1} \ le e ^ x – 1 [/ math] entonces tenemos:

  • ya sea [matemáticas] e ^ x – 1 = 0 [/ matemáticas], entonces [matemáticas] e ^ x = 1 \ \ por lo tanto x = 0 [/ matemáticas]
  • o [matemática] e ^ x – 1 \ geqslant 1 [/ matemática], entonces [matemática] e ^ x \ geqslant 2 \ \ por lo tanto x \ geqslant \ ln {2} [/ matemática]

Por lo tanto, [math] \ sqrt {e ^ x-1} \ leqslant e ^ x-1 [/ math] solo si [math] \ boxed {x = 0 \ text {or} x \ geqslant \ ln {2}} [ /matemáticas]

Esto no se menciona en la pregunta, pero supongamos que x es un número real. Por lo tanto, para definir sqrt (exp (x) -1), necesitamos tener exp (x) -1> = 0 => x> = 0

Luego vemos sqrt (exp (x) -1)> = exp (x) -1 es lo mismo que

sqrt (exp (x) -1) (1-sqrt (exp (x) -1))> = 0

Esto significa que debemos tener sqrt (exp (x) -1)> = 0 AND sqrt (exp (x) -1) <= 1

La primera parte nos dice exp (x)> = 1 => x> = 0, nada nuevo aquí.

La segunda parte es más interesante diciéndonos exp (x) <= 2 => x <= ln (2).

Entonces esto funcionará solo cuando 0 <= x <= ln (2).

Lo primero que haría sería comprobar que para ln2 estas dos expresiones son de hecho iguales, cuando pones ln2 en la expresión obtienes

Sqrt (e ^ ln2–1) = e ^ ln2–1

Sqrt (2–1) = 2–1

1 = 1

Ahora hemos confirmado que estas dos expresiones son iguales cuando x = ln2. Ahora, las preguntas también piden x menos que ln2, así que si usamos say x = ln (3/2) y luego ingresamos eso en la expresión obtendríamos:

Sqrt (e ^ ln3 / 2–1)

Sqrt (3 / 2–1) <3 / 2–1

Cuadrado (1/2) <1/2

Lo cual es cierto, sin embargo, no puede ingresar x <1, si lo hace, obtendría un sqrt de un número negativo y, como puede tratar con ellos, sería más conveniente decir que la expresión anterior es verdadera cuando 0 < = x <= ln2.

Por ejemplo, si tenemos x = ln (1/2) podemos simplificar: x = -ln2, lo que significa que es menor que 0, si luego lo ponemos en la expresión obtendríamos

sqrt (e ^ ln (1/2) -1)

Sqrt (1 / 2–1)

Cuadrado (-1/2)

Y esto es menos conveniente, por eso sugeriría usar 0 <= x <= ln2 en lugar de solo cuando x <= ln2