¿Cuál es el valor de [matemáticas] i ^ i [/ matemáticas] con la prueba?

Esto realmente va a hornear tus fideos.

¿Está familiarizado con la fórmula [matemáticas] e ^ {i \ theta} = \ cos \ theta + i \ sin \ theta [/ matemáticas]?

Si es así, usted sabe que [matemáticas] e ^ {i \ pi / 2} = \ cos \ left (\ frac {\ pi} {2} \ right) + i \ sin \ left (\ frac {\ pi} { 2} \ right) = i [/ math].

Por lo tanto,

[matemáticas] i ^ i = \ left [e ^ {i \ pi / 2} \ right] ^ i = e ^ {- \ pi / 2} = 1 / \ sqrt {e ^ {\ pi}} [/ math ]

Por otro lado, también sabe que [matemáticas] e ^ {i \ frac {5 \ pi} {2}} = \ cos \ left (\ frac {5 \ pi} {2} \ right) + i \ sin \ left (\ frac {5 \ pi} {2} \ right) = i [/ math],

lo que implica que

[matemáticas] i ^ i = \ left [e ^ {5i \ pi / 2} \ right] ^ i = e ^ {- \ frac {5 \ pi} {2}} = 1 / \ sqrt {e ^ {5 \ pi}} [/ math].

Así que ahora tengo que preguntar: ¿es esto algo de lo que te estás preguntando por tu cuenta, o es para una clase que estás tomando?

Bradley Ballinger ya respondió.

Yo agregaría, solo para volar tu cerebro un poco más, ya que es una función periódica que tenemos:

[math] cos (x) = cos (2n \ pi + x) [/ math] y [math] sin (x) = sin (2n \ pi + x) [/ math] y por lo tanto: [math] e ^ { ix} = e ^ {i (2n \ pi + x)} [/ math]

hacer que las funciones se repitan después de cada período [math] 2n \ pi [/ math], donde [math] n [/ math] es un número entero, tanto positivo como negativo (incluido 0, que es la solución de Bradley Ballinger).

Por lo tanto:

[matemáticas] i = e ^ {i \ pi (2n + \ frac {1} {2})} = cos [(2n + \ frac {1} {2}) \ pi] + i \ cdot sin [(2n + \ frac {1} {2}) \ pi] [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemáticas] i ^ i [/ matemáticas] tiene infinitos valores :

[matemáticas] i ^ i = [/ matemáticas]…, [matemáticas] e ^ {11 \ pi / 2} [/ matemáticas], [matemáticas] e ^ {7 \ pi / 2} [/ matemáticas], [matemáticas] e ^ {3 \ pi / 2} [/ matemáticas], [matemáticas] e ^ {- \ pi / 2} [/ matemáticas], [matemáticas] e ^ {- 5 \ pi / 2} [/ matemáticas], [ matemáticas] e ^ {- 9 \ pi / 2} [/ matemáticas], [matemáticas] e ^ {- 13 \ pi / 2} [/ matemáticas], …

==> [matemáticas] i ^ i = [/ matemáticas] [matemáticas] e ^ {- (4n + 1) \ pi / 2} [/ matemáticas]

Además, como afirma Philip Lloyd, todas estas soluciones son reales.

Aviso, [matemática] i = \ cos \ frac {\ pi} {2} + i \ sin \ frac {\ pi} {2} = e ^ {i \ frac {\ pi} {2}} [/ math]

[matemáticas] \ por lo tanto i ^ {i} = \ left (e ^ {i \ frac {\ pi} {2}} \ right) ^ i = e ^ {i ^ 2 \ frac {\ pi} {2}} = e ^ {- \ pi / 2} \ aprox0.20787957635076193 [/ matemáticas]

Solución general:

[matemáticas] i = e ^ {i \ left (2n \ pi + \ frac {\ pi} {2} \ right)} = e ^ {i \ frac {(4n + 1) \ pi} {2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto, i ^ {i} = \ Large \ left (e ^ {i \ frac {(4n + 1) \ pi} {2}} \ right) ^ i = e ^ {i ^ 2 \ frac { (4n + 1) \ pi} {2}} = e ^ {- \ frac {(4n + 1) \ pi} {2}} [/ math]

Donde, [math] n [/ math] es cualquier número entero, es decir, [math] n = 0, \ pm1, \ pm2, \ pm3, \ ldots [/ math]

Ahora, sustituyendo los valores integrales de n, uno debería obtener infinitas soluciones de la siguiente manera

[matemáticas] i ^ i = \ ldots e ^ {- \ frac {9 \ pi} {2}}, e ^ {- \ frac {5 \ pi} {2}}, e ^ {- \ frac {\ pi } {2}}, e ^ {\ frac {3 \ pi} {2}}, e ^ {\ frac {7 \ pi} {2}}, e ^ {\ frac {11 \ pi} {2}} \ ldots [/ math]

Recordemos la fórmula de Euler,

[matemáticas] e ^ {ix} = \ cos (x) + i \ sin (x) [/ matemáticas]

Ahora tomaremos [math] x = \ dfrac {\ pi} {2} [/ math]

[matemáticas] e ^ {i \ frac {\ pi} {2}} = \ cos (\ frac {\ pi} {2}) + i \ sin (\ frac {\ pi} {2}) [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {i \ frac {\ pi} {2}} = i [/ matemáticas]

[matemáticas] (e ^ {i \ frac {\ pi} {2}}) ^ i = i ^ i [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {- \ frac {\ pi} {2}} = i ^ i [/ matemáticas]

[matemáticas] i ^ i \ aproximadamente 0.20788… [/ matemáticas]

Sin embargo, puede tomar [math] x = \ dfrac {\ pi} {2} + n2 \ pi [/ math], [math] n \ in \ mathbb {Z} [/ math]

Lo que también lleva a infinitas respuestas más.

Puedes usar la fórmula de Euler que es:

[matemáticas] e ^ {ix} = cos (x) + isin (x) [/ matemáticas]

Usando [math] x = \ frac {\ pi} {2}, [/ math] obtienes:

[matemáticas] e ^ {(i \ pi / 2)} = cos (\ pi / 2) + isin (\ pi / 2) = i [/ matemáticas].

Ahora, eleva ambos lados con [math] i ^ {th} [/ math] poder para obtener

[matemáticas] e ^ {(i ^ 2 \ pi / 2)} = i ^ i [/ matemáticas]

Usando el hecho de que [matemática] i ^ 2 = -1, [/ matemática] obtenemos que [matemática] i ^ i = [/ matemática] [matemática] e ^ {- \ pi / 2}. [/ Matemática] Desde , tanto [math] e [/ math] como [math] \ pi [/ math] son ​​reales, [math] e ^ {- \ pi / 2} [/ math] es real. El valor aproximado se reduce a alrededor de 0.20788.

Bueno, yo es igual a la raíz cuadrada de -1, así que es un número real y es aprox. es igual a 0.20788. Puede ser por la fórmula de Euler.

El siguiente sitio web muestra exactamente cómo funciona y creo que cubre muy bien el tema. Aquí está mi explicación.

De la fórmula de Euler, sabemos que exp (i * x) = cos (x) + i * sin (x), donde “exp (z)” es la función exponencial ez. Entonces

(i * Pi / 2) = cos (Pi / 2) + i * sin (Pi / 2) = i.

Al elevar ambos lados a la i-ésima potencia, vemos que el lado derecho es la cantidad deseada ii, mientras que el lado izquierdo se convierte en exp (i * i * Pi / 2) o exp (-Pi / 2), que es aproximadamente. 20788.

Este es solo uno de los valores de i ^ i ya que es una función de valores múltiples

¿Qué es yo para el poder de i?

[matemáticas] x + iy = i ^ i [/ matemáticas]

[matemáticas] => ln (x + iy) = iln (i) [/ matemáticas]

[matemáticas] => ln (x + iy) = i [\ frac {ln (1)} {2} + iarg (i)] = i ^ 2 (2nπ + \ frac {π} {2}) = – ( 2nπ + \ frac {π} {2}) [/ matemáticas]

[matemáticas] => ln (x + iy) = – (2nπ + \ frac {π} {2}) [/ matemáticas]

[matemáticas] x + iy = e ^ {- (2nπ + \ frac {π} {2})} [/ matemáticas]

Aquí arg (Z) es un argumento del número complejo yn es cualquier número entero. La fórmula utilizada es

[matemáticas] ln (x + iy) = \ frac {ln (x ^ 2 + y ^ 2)} {2} + iarg (x + iy) [/ matemáticas]

Si se necesita alguna corrección, menciónelos en los comentarios.

Estrictamente, no hay un valor “a”; hay una familia infinitamente contable de valores, densos en el “círculo de la unidad” ([math] e ^ {i \ theta} [/ math] para real [math] \ theta [/ math]). No creo que haya una forma muy natural de elegir un valor “principal” aquí, pero el valor ya sugerido corresponde a elegir [math] \ log (i) [/ math] con una parte imaginaria en [math] [0, 2 \ pi) [/ math], o incluso en [math] (- \ pi, pi] [/ math], que tiene una pretensión razonable de ser el logaritmo “principal” de [math] i [/ math].

Supongo que la ‘i’ en la pregunta es un número imaginario.

Sí, la respuesta es un número real. Encuentre la solución en la siguiente imagen.

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